فصل اول: مقدّمات

• الف) اعداد و مجموعه های آن
• ب) کانتور؛ نظریّات و بازتاب آن
• ج) تبیین نظریه کانتور

الف) اعداد و مجموعه های آن

الف) اعداد و مجموعه های آن

۱. مجموعه اعداد طبیعی

[1]«از مطالب خیلی ساده، این است که مثلاً در مجموعه اعداد طبیعی[2] که از یک شروع می‌شود و تا بی‌نهایت می‌رود. بین دو عضو از این مجموعه، دیگر نمی‌توانید چیزی از اعداد طبیعی پیدا کنید. وقتی سر و کارتان با اعداد طبیعی است، بین دو و سه، چه عددی است؟ هیچی. بعد از دو، سه است و بین آن‌ها چیزی نیست. همچنین اعداد صحیح مثبت و منفی. تمام اعداد صحیح به این صورت است، یعنی بین دو عضو از یک مجموعه، عضو دیگری نیست.

۲. مجموعه اعداد گویا

اما وقتی سراغ اعداد گویا[3] می‌رویم، تعبیر بسیار مهم و اعجاب‌آوری است؛ وقتی آدم به آن فکر می‌کند واقعاً بهتش می‌گیرد. مجموعه اعداد گویا چیست؟ یعنی آن عددی که از نسبت بین دو عدد حاصل می‌شود. الآن بین یک و دو، عددی نداشتیم، اما می‌گوییم یک دوم؛ یعنی نصف. دو سوم، سه چهارم. یعنی همین فاصله‌ای که بود، دو و یک سوم؛ بین دو و سه دارید عدد پیدا می‌کنید. این‌ها اعداد نسبی می‌شوند. اعدادی که مُنطَق و گویا هستند.

مجموعه اعداد گویا؛ فشرده

چیز عجیب و غریب این است که ریاضی‌دان‌ها می‌گویند: مجموعه اعداد گویا فشرده است[4]. این فشرده یعنی چه؟ خیلی مهم است. فشرده یعنی هر دو عدد گویا در هر کجا پیدا کنید، نه تنها بین آن‌ها فقط یک عدد نیست، بلکه دوباره بی‌نهایت عدد گویا است؛ خیلی است. اگر دو عدد گویا مثلاً یک دوم با یک سوم را با کسرها مدام به هم نزدیک کنید، بی‌نهایت جلو بروید و به جایی برسید که تصورش سخت است، باز بین آن دو عدد گویا، بی‌نهایت عدد گویا است. وقتی فکرش را می‌کنید، این فشردگی یک امر بهت‌آوری است. یعنی دوباره بین هر دو عضو، بی‌نهایت عضو از همان مجموعه هست؛ به این، فشردگی می‌گویند. این درکش ساده است.

مجموعه اعداد گویا؛ شمارا

اما آنچه که ره‌آورد قرن بیستم بود و بهت‌آور است، این است - با برهانی که در فضای ریاضی ثابت شده - که می‌گویند: این مجموعه‌های اعداد گویا که فشرده است، شماراست[5]. شمارا به چه معنا است؟ یعنی تناظر یک به یک[6] دارد با مجموعه اعداد طبیعی. از نظر قوّه‌ی بی‌نهایت، با اعداد طبیعی یکی است[7]. به اصطلاح اعداد ترانسفینی[8]، هر دویش الفْ صفر است.

اعداد طبیعی فشرده نبود؛ بین هر دو عضوش فاصله‌ای نبود. این مجموعه اعداد طبیعی با اعداد گویایی که بین هر دو عضوش، بی‌نهایت عضو است، از نظر زور بی‌نهایت بودن، یکی هستند. از نظر اعداد بی‌نهایت‌ها، هر دو، الف صفر هستند و شمارا. شمارا یعنی تناظر یک به یک دارد با مجموعه اعداد طبیعی.

- الف صفر، به چه معنا است[9]؟

الف صفر، نام عددهای بی‌نهایت‌ها است. عدد ترانسفینی می‌گویند؛ اعداد متعالی. الف صفر، اولین آن‌ها است که همان اعداد طبیعی است و هر مجموعه بی‌نهایتی که با اعداد طبیعی بی‌نهایت اول، تناظر یک به یک داشته باشد، شمارا است؛ می‌توانیم آن را بشماریم و درجه بی‌نهایت بودنش با درجه اعداد طبیعی قوّتش برابر است.

۳. مجموعه اعداد حقیقی

حالا مهم این بود:

مجموعه اعداد حقیقی؛ ناشمارا

مجموعه اعداد حقیقی نا شماراست. یعنی نمی‌توان آن را شمرد؛ تناظر یک به یک ندارند. از اینجا نتیجه می‌گیریم که مجموعه اعداد گویا هرچند فشرده است، اما به اندازه کافی فشرده نیست؛ تعبیری است که دارند. یعنی ولو بین دو عدد باز بی‌نهایت عدد است، اما باز روی محور، نقاطی را پیدا می‌کنیم که گویا نیست و گنگ است. در اعداد غیرگویا، هم اعداد رسم‌پذیر و هم غیررسم‌پذیر هستند، مثل عدد پی[10]  که اصلاً رسم‌پذیر نیست یا  اعداد گنگی که رسم‌پذیر است، مثل رادیکال دو که با خط‌کش و پرگار نشانش می‌دهیم؛ می‌گویند این نقطه را که می‌بینی، این نقطه، عدد گویا نیست. محال است بتوانید آن را به یک عدد گویا بیان کنید، ولی نقطه آن، این است. پس معلوم شد اعداد گویا که این قدر گسترده است، باز بی‌نهایت عدد داریم که در مجموعه اعداد گویا نیست؛ این خیلی مهم است[11].[12]»

[1] نوشته پیش رو، تنظیم و گردآوری مطالبی است که در جلسات مختلف از جمله جلسات  هشتم، یازدهم و سی و دوم فقه هوش مصنوعی و جلسه شرح توحید صدوق  تاریخ 26/9/1398 و جلسه سوم مرور اجمالی تاریخ ریاضیات افاده شده است. علاوه‌بر افادات، از متن مقاله باخدایی گام به گام در فصل دوم و تقریرات شرح این مقاله که در جلسات خارج اصول فقه به تناسب مطرح شده است بهره برده‌ایم.

[2] اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت اعدادی هستند که از یک ( ۱ ) شروع می‌شوند و تا بینهایت (عدد n) ادامه دارند. و شامل صفر نمی‌شود (عدد صفر مرز میان اعداد مثبت ومنفی است) و برای شمارش (به‌طور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (به‌طور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {... و۱٬۲٬۳} است. این اعداد شامل اعداد مرکب، اعداد اول و یک است. به بیان ساده، عدد طبیعی، عددی است که در طبیعت وجود دارد و برای شمردن عناصر طبیعی استفاده می‌شوند، برای مثال عدد صفر یا اعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعه اعداد طبیعی نیستند.(سایت ویکی پدیا)

[3] عدد گویا یا عدد کسری (به انگلیسی: Rational number) در علم ریاضیات، عددی است که می‌تواند به صورت کسر یا ( p / q ) از دو عدد صحیح p و q ( به طوری که p صورت کسر و q مخرج کسر باشد.) بیان شود. به عبارت دیگر، اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر (به جز صفر) پدید آمده باشد.  از آن‌جایی که q می‌تواند برابر با عدد یک باشد؛ پس تمامی اعداد صحیح، طبیعی و حسابی، عدد گویا نیز هستند.

نماد ریاضی اعداد گویا

مجموعه اعداد گویا معمولاً با حرف Q نمایش داده می‌شوند که به انتخابِ جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است

تعریف

به‌طور کلی می‌توان مجموعه اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: اگر ما یک عدد طبیعی داشته باشیم و آن را (مثلا x ) بر دیگری (مثلا y ) تقسیم کنیم؛ به طوری که (یا به شرطی که) هم x (صورت) و هم y (مخرج) عضو مجموعه اعداد صحیح ( Z ) باشند؛ و y (مخرج) برابر با صفر نباشد؛ آنگاه نسبت x به y (کسر مورد نظر) عددی گویا خواهد بود.

[4]  این مجموعه[مجموعه اعداد گویا] خاصیت مهم چگال بودن را دارد. منظور این است که بین هر دو عدد گویای متمایز عدد گویای دیگری در حقیقت بینهایت عدد گویای دیگر - وجود دارد. مثلاً بین ۰ و ۱ اعداد گویای

 1/2 .2/3 .3/4 .4/5 .5/6 .….n/(n+1)

قرار دارند، بین  ۰ و     اعداد گویای

  1/3.2/5.3/7.4/9.5/11….n/(2n+1) 

قرار دارند. (تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۳۰۳-۳۰۴)

[5] در ریاضیات، یک مجموعه شماراست اگر یا متناهی باشد یا بتوان تناظری یک به یک از آن با مجموعه اعداد طبیعی ایجاد کرد.

معادلاً، یک مجموعه شماراست اگر تابعی یک به یک از آن به اعداد طبیعی وجود داشته باشد؛ یعنی هر عضوی از آن مجموعه باید به عددی طبیعی و اختصاصی مرتبط شود، یا اینکه اعضای آن مجموعه را بتوان یکی یکی شمرد، با اینکه به علت تعداد اعضای نامتناهی، این شمارش هیچگاه نباید پایان یابد.

به بیان حرفه ای تر، با فرض اصل انتخاب شمارا، یک مجموعه شماراست اگر عدد اصلی آن (تعداد اعضای آن مجموعه) نسبت به مجموعه اعداد طبیعی بیشتر نباشد. به مجموعه شمارایی که متناهی نباشد شمارای نامتناهی می‌گویند.

این مفهوم منتسب به جرج کانتور است، کسی که وجود مجموعه های ناشمارا را اثبات کرد، یعنی مجموعه هایی که شمارا نباشند؛ مثلاً مجموعه اعداد حقیقی.

تعریف

مجموعه‌ای را شمارا (قابل شمارش) می‌نامند، که یا متناهی است یا عدد کاردینال آن با کاردینالیتهٔ مجموعهٔ اعداد صحیح و مثبت یکی است. به مجموعه‌ای که شمارش‌پذیر نیست، مجموعهٔ ناشمارا (مجموعهٔ غیرقابل شمارش) گفته می‌شود. به‌هنگامی که یک مجموعهٔ نامتناهی S شمارش‌پذیر است، عدد کاردینال آن با 0 ℵ نشان داده می‌شود.(سایت ویکی پدیا)

در این زمینه همچنین به سایت درآمد به منطق، صفحه مجموعه‌های متناهی، نامتناهی، شمارا، ناشمارا  و مجله رشد ریاضی، مقاله مجموعه‌های متناهی، نامتناهی،  شمارا و ناشمارا مراجعه فرمایید.

[6] در ریاضیات یک تناظر دوسویه (یا تناظر یک به یک) (به انگلیسی: one-to-one correspondence یا bijection) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه‌ی دیگر جفت شده باشد. در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد.

هر تابع دوسویی از مجموعهٔ X به مجموعهٔ Y دارای یک تابع وارون از Y به X است. اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهندهٔ این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. در مورد مجموعه‌های نامتناهی این تناظرها باعث به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند.

هر تابع دوسویی از یک مجموعه به خود آن مجموعه جایگشت نام دارد.

توابع دوسویی برای بسیاری از مباحث ریاضی ابزاری ضروری هستند. به عنوان مثال: تعاریف یک‌ریختی و همسان‌ریختی.

تعریف

برای این که تابع f از مجموعه X و به مجموعهٔ Y دوسویی باشد باید چهار شرط زیر برقرار باشند:

    هر عضو مجموعهٔ X باید با حداقل یک عضو مجموعهٔ Y جفت‌شده‌باشد،

    هیچ عضو X نباید با بیش از یک عضو Y جفت‌شده‌باشد،

    هر عضو مجموعهٔ Y باید با حداقل یک عضو مجموعهٔ X جفت‌شده‌باشد و

    هیچ عضو Y نباید با بیش از یک عضو X جفت‌شده‌باشد.

شرط‌های یک و دو تضمین می‌کنند که f تابعی با دامنه‌ی X است. شرط‌های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعهٔ X دقیقاً با یک عضو از مجموعهٔ Y جفت شود. توابعی که شرط سوم را دارا هستند توابع پوشا نام دارند. شرط چهارم هم تعریف توابع یک‌به‌یک است. با توجه به این عبارت می‌توان نتیجه گرفت که یک تابع دوسویی است اگر و فقط اگر هم یک‌به‌یک باشد هم پوشا.

مثال

معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفت کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد:

    تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)،

    هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است.

    تمام صندلی‌ها پر هستند و

    روی هیچ صندلی بیش از یک نفر ننشسته است.

پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یک برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.

مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند.(سایت ویکی پدیا)

تناظر یک‌به‌یک: اگر A و B دو مجموعه باشند و به ازای هر عضو از A یک عضو از B و به ازای هر عضو از B یک عضو از A وجود داشته باشد، می‌گوییم A و B تناظر یک‌به‌یک دارند و می‌نویسیم: A≈B.

برای مثال، اگر فرض کنیم: A = {۱,۲,۳,۴,۵,۶} و B = {a,b,c,d,f} ، در این صورت واضح است که: A=B. این تناظر یک‌به‌یک را به شکل زیر ملاحظه می‌کنید:

همان‌طور که در تعریف دقت کردید، مفهوم تناظر یک‌به‌یک بین دو مجموعه A و B هیچ محدودیتی برای نامتناهی بودن این دو مجموعه ایجاد نمی‌کند و اگر این مفهوم را به دقت به‌کار ببریم، به سادگی و به‌صورت زیر می‌توان نشان داد که مجموعه عددهای طبیعی و مجموعه عددهای طبیعی زوج تناظر یک‌به‌یک دارند؛ یعنی: N≈۲N

(مجله رشد ریاضی، مقاله مجموعه‌های متناهی، نامتناهی،  شمارا و ناشمارا)

[7] تعداد عنصرهای دو مجموعه متناهی X و Y  برابر است اگر و تنها اگر یک تناظر یک به یک f: X   Y  بین X  و Y  وجود داشته باشد. هرچند که عبارت تساوی تعداد عنصرها را برای حالتی که مجموعه‌های  X  و Y  نامتناهی هستند به کار نمی بریم، به نظر می‌رسد طبیعی باشد فکر کنیم دو مجموعه نامتناهی که در تناظر یک به یک هستند، دارای یک اندازه هستند. ما این ادراک را به‌صورت زیر بیان می‌کنیم:

دو مجموعه X  و Y را همتوان می‌گویند و نماد X    Y    را برای آن به کار می‌برند، هرگاه بین X  و Y  یک تناظر یک به یک f: X   Y  وجود داشته باشد. (نظریّه مجموعه‌ها و کاربردهای آن، ص ۱۲۲)

[8] اعداد ترامتناهی اعدادی نامتناهی‌اند، بدین معنا که آن‌ها بزرگتر از تمام اعداد متناهی‌اند و لزوماً نامتناهی مطلق نیستند. عبارت ترامتناهی (transfinite) توسط جورج کانتور ابداع شد. او می‌خواست که با این کلمه اشاره‌ای ضمنی به کلمهٔ بی‌نهایت کرده باشد، تا بدین شکل بر متناهی نبودنشان اشاره کرده باشد. با این حال برخی از نویسندگان معاصر نسبت به این کلمه مردد هستند؛ اکنون به کار بردن کلمهٔ «بی‌نهایت» برای کاردینال‌ها و اوردینال‌های بی‌نهایت پذیرفته شده‌است. با این حال کلمهٔ ترامتناهی نیز هنوز به کار برده می‌شود.(سایت ویکی پدیا)

[9] سؤال یکی از دوستان حاضر در جلسه درس

[10] در این زمینه به مقاله گردآوری «کاربرد مفاهیم ریاضی در تبیین مفاهیم الهیاتی(۱): عدد پی»  و صفحه عدد پی در سایت فدکیه مراجعه فرمایید.

[11]جلسه یازدهم فقه هوش مصنوعی

[12] در کتاب تاریخ ریاضیات در مورد اعداد ترانسفینی این‌چنین می‌خوانیم:

نظريه ریاضی جدید مجموعه ها یکی از مهمترین ابداعات ذهن بشری است. به دلیل قاطعیت نا معمول برخی از ایده هایی که در آن یافت میشود و به دلیل برخی روشهای ممتاز اثبات ناشی از آن نظریه مجموعه ها جذابیت وصف ناپذیری یافته است ولی بالاتر از همه این نظریه اهمیت بسیار زیادی تقریباً در تمام ریاضیات دارد. این نظریه درغنا، وضوح، توسیع و تعميم بسیاری از زمینه های ریاضیات بی اندازه مؤثر بوده است و نقش آن در مطالعه مبانی ریاضیات کاملا اساسی است. نظریه مجموعه ها همچنین حلقه های ارتباط بین ریاضیات از يك سو و فلسفه و منطق از سوی دیگر را تشکیل می دهد. دو مجموعه را هم ارز گویند اگر و فقط اگر بتوان آنها را در تناظر يك به يك قرار داد.

وقتی دو مجموعه هم ارز باشند می گویند دارای یک عدد اصلی هستند. اعداد اصلی مجموعه های متناهی را میتوان با اعداد طبیعی مشخص کرد. اعداد اصلی مجموعه های نامتناهی به اعداد ترانسفینی معروف اند و نظریه این اعداد اولین بار توسط گئورگ کانتور در يك سرى مقاله قابل توجه که از سال ۱۸۷۴ آغاز شد بسط یافت. اغلب این مقالات در مجله های آلمانی ماتماتیشه آنالن و مجله ریاضیات به چاپ رسیدند. قبل از مطالعه كانتور، رياضيدانان فقط يك بینهایت را پذیرفته بودند که با علامتی شبیه به  نشان داده می شد و این علامت بدون تمایز برای نشان دادن عدد اعضا در مجموعه هایی نظیر مجموعه کلیه اعداد طبیعی ومجموعه كلية اعداد حقیقی به کار گرفته میشد با کار کانتور دیدگاه کاملا جدیدی مطرح گردید و مقیاس و حسابی برای بینهایتها به دست آمد.

 این اصل اساسی که مجموعه های هم ارز عدد اصلی واحدی دارند، در موردی که مجموعه های تحت بررسی مجموعه های نامتناهی باشند وضعیتهای جالب و شگفت آوریپیش می آورد. گالیله پیشتر در نیمه دوم قرن شانزدهم متوجه شده بود که ، به كمك تناظر  n ، مجموعه كليه اعداد صحیح مثبت را میتوان در يك تناظر يك به يك با مجموعه کلیه اعداد صحیح مثبت و زوج قرار داد از اینرو باید به هر یک از این دو مجموعه عدد اصلی واحدی اختصاص داد و ، از این نقطه نظر باید گفت که تعداد اعداد صحیح مثبت برابر تعداد اعداد صحیح مثبت زوج است بی در نگ میتوان مشاهده کرد که اصل موضوع اقلیدسی مبنی بر اینکه کل بزرگتر از جزء است در موقعی که اعداد اصلی مجموعه های نامتناهی مورد بحث اند نمیتواند جایز باشد. در واقع در کیند در حدود  ۱۸۸۸، يك مجموعه نامتناهی را مجموعه ای تعریف کرد که با یک زیر مجموعه حقیقی خودش هم ارز باشد.

ما عدد اصلی مجموعه کلیه اعداد طبیعی را با d  نشان خواهیم داد،( كانتور این عدد اصلی را با حرف عبری الف با اندیس صفر یعنی  نشان داد. پ) و هر مجموعه ای با این عدد اصلی را شمارا خواهیم نامید نتیجه میشود که مجموعه ای مانند که شمار است اگر و فقط اگر اعضای آن را بتوان به صورت دنباله بی پایان (s_₀, s_₁ , s_₂ , …) نوشت. چون به آسانی می توان نشان داد که هر مجموعه نامتناهی زیر مجموعه شما رایی دارد، نتیجه می شود که d «کوچکترین» عدد ترانسفینی است. کانتور در یکی از اولین مقاله های خود درباره نظریه مجموعه ها ، شما را بودن دو مجموعه مهم را که در نگاه اول به زحمت واجد این خاصیت به نظر می رسند، اثبات کرد.

اولین مجموعه ، مجموعه اعداد گویا است. این مجموعه خاصیت مهم چگال بودن را دارد. منظور این است که بین هر دو عدد گویای متمایز عدد گویای دیگری -در حقیقت بینهایت عدد گویای دیگر - وجود دارد.

مثلاً بین ۰ و ۱ اعداد گویای 

 1/2 .2/3 .3/4 .4/5 .5/6 .….n/(n+1)

قرار دارند، بین  ۰ و    ۱  اعداد گویای

 1/3.2/5.3/7.4/9.5/11….n/(2n+1) 

 قرار دارند ….

 به موجب این خاصیت ممکن است این تصور به وجود آید که عدد تر انسفینی مجموعه اعداد گویا بزرگتر ازd است.( عدد اصلی مجموعه ای مانند A را بزرگتر از عدد اصلی مجموعه ای مانند B گویند اگر و فقط اگر B بايك زير مجموعه حقیقی A هم ارز باشد ، ولی A با هیچ زیر مجموعه حقیقی B هم ارز نباشد. پ) کانتور نشان داد که چنین نیست و برعکس،مجموعة اعداد گویا شمار است اثبات آن جالب و به صورت زیر است:

قضیه ۱: مجموعه اعداد گویا شماراست.

…

دومین مجموعه ای که توسط کانتور مطالعه شد ، مجموعه اعدادی است که ظاهراً بسیار وسیعتر از مجموعه اعداد گویاست…

قضیه ٢ مجموعه كليه اعداد جبری شمار است.

با توجه به دو قضیه قبل این امکان باقی میماند که همه مجموعه های نامتناهی شما را هستند. خلاف آن توسط کانتور با برهان اعجاب آوری در قضیه مهم زیر نشان داده شد.

قضية ٣ مجموعه كلیه اعداد حقیقی در بازه 0<x<1ناشماراست.

اثبات به برهان خلف است و روش نامعمولی موسوم به فرایند قطری کردن کانتور را مورد استفاده قرار می دهد. در این صورت فرض میکنیم که مجموعه شمار است. با این فرض میتوان اعداد مجموعه را در دنباله ای مانند  {p₁,p₂,p₃,…} فهرست کرد. هر يك از این اعداد را میتوان به طور منحصر بفردی به صورت يك كسر اعشاری نامختوم نوشت ؛ در این رابطه یادآوری این مطلب مفید است که هر عدد گویا را میتوان به صورت «اعشاری مکرر نوشت؛ مثلا عددی مانند 0.3 را می توان به صورت 0.299999… نوشت. در این صورت میتوانیم دنباله را با آرایه زیر نمایش دهیم:

P₁=0.a₁₁ a₁₂ a₁₃…

P₂=0.a₂₁ a₂₂ a₂₃…

P₃=0.a₃₁ a₃₂ a₃₃…

که در آن a_{i j} به معرف یکی از ارقام ۱۰، ۲، ۳، ۴، ۵ ، ۶، ۷، ۸، ۹ است . حال علیرغم دقتی که در فهرست کردن کلیه اعداد بین ۰ و ۱ به کار رفته است عددی وجود دارد که نمی توانسته در فهرست وارد شود چنین عددی0.b ₁  b ₂  b _3… است که در آن، مثلاً7 = b_k در صورتی که a_kk 7   و  3=b_k اگر a_kk 7    به ازای هر  1,2,…n…= k.

این عدد آشکارا بین ۰ و ۱ قرار دارد و باید با هر يك از اعداد p متفاوت باشد، زیرا با P₁حداقل در رقم اعشاری اول تفاوت دارد، با P₂ حداقل در رقم اعشاری دوم تفاوت دارد، با P₃حداقل در رقم اعشاری سوم تفاوت دارد، و الی آخر. بدین ترتیب فرض آغازین که همه اعداد حقیقی بین ۰ و ۱ را میتوان در دنباله ای فهرست کرد ، قابل قبول نیست، ولذا این مجموعه باید ناشمارا باشد.

كانتور قضیه مهم زیر را از قضایای ۲ و ۳ نتیجه گرفت:

قضيه ۴ اعداد متعالی موجودند.

چون بنا بر قضیه ۳ مجموعه اعداد حقیقی بین ۱و۰ ناشماراست، به آسانی می توان نشان داد که مجموعه اعداد مختلط نیز نا شماراست. اما بنا بر قضیه ۲ مجموعه اعداد جبری شمار است. نتیجه میشود که باید اعداد مختلط که جبری نیستند وجود داشته باشند و قضیه ثابت می شود. برهان فوق برای قضیه ۴ برای همه ریاضیدانان قابل قبول نیست. قابل قبول بودن یا غیر قابل قبول بودن این برهان مربوط به تصور ما از چگونگی وجود ریاضی است و ریاضیدانانی وجود دارند که به زعم آنها وجود ریاضی فقط موقعی ثابت میشود که یکی از چیزهایی که وجودشان مورد بحث است عملا ساخته و نشان داده شود. ولی برهان بالا وجود اعداد متعالی را با ایجاد نمونه مشخصی از چنین اعداد ثابت نمی کند. در ریاضیات برهانهای وجودی از این نوع غیر ساختنی فراوان اند که در آنها وجود، فرضاً تنها با نشان دادن اینکه فرض عدم وجود منجر به تناقض میشود، ثابت میگردد . مثلا بسیاری از براهین قضیه اساسی جبر بر چنین اساسی فرمولبندی شده اند. به دلیل ناخشنودی برخی ریاضیدانان از برهانهای وجودی غیر ساختنی، تلاش زیادی صرف جانشین کردن این برهانها با برهانهایی شده است که عملاً یکی از چیزهای مورد بحث را می دهند.

 اثبات وجود اعداد متعالی و این اثبات که عدد خاصی متعالی است دو مطلب کاملا متفاوت اند. دو می اغلب مسئله بسیار دشواری است. ارمیت در سال ۱۸۷۳، ثابت کرد که عدد e، پایه لگاریتم طبیعی متعالی است. لیندمان ، در سال ۱۸۸۲، برای اولین بار متعالی بودن  را ثابت کرد. متأسفانه برای اثبات این حقایق جالب در این کتاب محذوراتی وجود دارد. دشواری مشخص کردن جبری بودن یا متعالی بودن عدد مفروض خاصی را می توان با این حقیقت روشن کرد که هنوز معلوم نیست که جبری یا متعالی است . دستاورد جدیدی در این زمینه اثبات ماهیت متعالی بودن اعدادی به شکل  است که در آن a عددی جبری جز ۰ و ۱ است و b يك عددنا گویای جبری میباشد این نتیجه که در سال ۱۹۳۴ توسط الکساندر او سیپوویچ گلفوند (متولد۱۹۰۶) به دست آمده و امروزه قضیه گلفوند نامیده می شود حاصل کوشش تقریباً ۳۰ ساله ای برای اثبات متعالی بودن به اصطلاح  عدد هیلبرت ، 2  بوده است.

چون مجموعه همه اعداد حقیقی در بازه 0<x<1 ناشمار است، عدد تر انسفینی این مجموعه بزرگتر از d است. ما آن را با c  نشان میدهیم و آن را عدد اصلی متصله اطلاق می کنیم. عقیده کلی بر این است که c عدد ترانسفینی بعد از d است، یعنی اینکه هیچ مجموعه ای نیست که دارای عدد اصلیی بزرگتر از d و کوچکتر از c باشد. این اعتقاد به فرض متصله موسوم است ولی علی رغم کوششهای شدید هنوز برهانی برای آن پیدا نشده است. نتایج زیادی از این فرض استنتاج شده اند و به حدود سال ۱۹۴۰، منطقی اطریشی کورت گودل (۱۹۰۶) - (۱۹۷۸) به اثبات این نکته موفق شد که فرض متصله با مجموعة اصول موضوعه مشهوری مربوط به نظریه مجموعه ها سازگار است به شرطی که خود این اصول موضوعه سازگار باشند. گودل حدس زد که انکار فرض متصله نیز با اصول موضوعه نظريه مجموعه ها سازگار است. این حدس را در سال ۱۹۶۳ دکتر پل. ج. کوهن از دانشگاه استانفورد ثابت کرد و بدین ترتیب نشان داد که فرض متصله از اصول موضوعه نظريه مجموعه ها مستقل است و بنا بر این قابل استنتاج از این اصول موضوعه نیست. این وضعیت شبیه به وضعیت اصل توازی در هندسه اقلیدسی است.

نشان داده شده است که مجموعه کلیه توابع تك مقداری مانند (x)f₁  که بر بازه0<x<1 تعریف شده اند، دارای عدد اصلی بزرگتر از c هستند ولی اینکه آیا عدد اصلی مزبور عدد بعد از c هست یا نیست معلوم نشده است. نظریه کانتور دنباله نامتناهیی از اعداد ترانسفینی را پیش بینی میکند و براهینی وجود دارند که مقصودشان نشان دادن آن است که تعداد نامحدودی از اعداد اصلی بزرگتر از متصله عملاً موجودند. (تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۳۰۲-۳۰۷)

ب) کانتور؛ نظریّات و بازتاب آن

«بین ریاضی دان های قرن بیستم بحثی پیش آمده بود در قرن بیستم که به بهشت کانتورمعروف شد. کانتور[1] یک ریاضی دان بود؛ نظریه مجموعه‌ها را آورد، بعد هم اعداد ترانسفینی و اعداد بی‌نهایت. در قرن بیستم ریاضیات، برای بی‌نهایت‌ها دستگاهی به پا کرد.

سخن هیلبرت: «بهشت کانتور»

یکی دیگر از ریاضی‌دان‌های مهم قرن بیستم هیلبرت بود. ایشان یک جمله‌ای گفت که جمله او بین محافل علمی معروف شد. چون عده‌ای بعد از کانتور بودند تا تلاش کنند این حرف‌های او را ذوب کنند و حذف کنند؛ ضعیفش کنند و از بین ببرند[3]. او که خودش ریاضی دان بزرگی بود این جمله را گفت: احدی را یارای این نیست که ما را از بهشتی که کانتور برای ما آورد بیرون کند[4]. این جمله معروف شد. یعنی تلاش‌های کسانی که می‌خواهند این‌ها را تعطیل کنند، تلاش بی خودی است. بهشت کانتور در قرن بیستم معروف شد.

امکان ارائه «بهشت کانتور» با شواهد

 به گمان من طلبه، برای ما امکاناتی فراهم است تا این بهشت را نشان بدهیم؛ نه این‌که یک چیزی همین‌طور بگوییم. باید نشان داده شود. یکی از شئون مهم این باور کانتور را پارسال در عدد پی نشان دادم[5]. عرض کردم نقطه عدد پی روی محور، بین سه و چهارده تا سه و پانزده صدم قرار می‌گیرد، بین این‌ها بی‌نهایت نقاط ممتاز متعین داریم. متعین ثابتی که هر چه پیشرفت کنیم آن‌ها را به دست می‌آورید. نه همین‌طور لایقفی^[6]! نه، اعداد ممتاز.

بی‌نهایت بالفعل؛ بی‌نهایت لا یقفی

[ از زمان ارسطو، تمام بی نهایت ها، چه بی نهایت بزرگ و چه بی نهایت کوچک را با بی نهایت بالقوّه حل می کردند.بی نهایت بزرگ را می گفتند: لایقف . بی نهایت کوچک را می گفتند: بالقوّه . ما هم با این دوتا خیلی مانوس هستیم چون مبنای کتاب‌های ما هم معمولاً  ارسطویی است. انسان خودش را قانع می‌کند به بی نهایتِ لا یقفی و کار تمام می‌شود[7]]

در این فاصله کوتاه، شما می‌توانید یک مفهوم افلاطونی را نشان بدهید. این، یکی از شعب آن بهشت است؛ کسی که دنبال این‌ها است وقتی احساس کرد دیگر فاصله نمی‌گیرد و دیگر به دیگری نگاه نمی‌کند. این خیلی مهم است؛ شما فقط این قدرت را داشته باشید که نشان بدهید. الآن گنگ بودن عدد پی در زمان ما صاف صاف است. فقط از لوازمش استفاده‌ای که باید بکنیم، نمی‌کنیم[8].

سخن ویتگنشتاین

یک جا دیدم؛ بعد از این‌که هیلبرت این حرف را زد، ویگتنشتاین گفته بود: من که هرگز زحمت نمی کشم تا شما را از این بهشت بیرون کنم؛ من فقط یک کار می‌کنم؛ من توصیف می‌کنم و می‌گویم این بهشت نیست، وقتی خودتان دیدید که بهشت نیست، خب از آن بیرون می‌آیید[9]! چرا شما را از بهشت بیرون کنم؟! من توضیح می‌دهم که این بهشت نیست، لذا خودتان بیرون می‌آیید. چون شما به خیال بهشت آن جا مانده‌اید، وقتی من توضیح دادم که بهشت نیست، خودتان بیرون می‌آیید. این جمله‌ای بود که او گفته بود. ویگتنشتاین این را در جواب هیلبرت گفته بود. او گفته احدی را یارا نیست، او گفته بود من این جور توصیف می‌کنم.

پاسخی به ویتگنشتاین

به ذهن طلبگی من آمد که به این صورت جوابش را بدهیم؛ بگوییم ما که حاضر هستیم شما توصیف کنید اینجا بهشت نیست تا بیرون بیاییم. اما چرا بیرون تشریف دارید و توصیف می‌کنید؟! بیایید داخل بنشینید و تعریف کنید. از اینجا تعریف کنید که بهشت نیست. می‌دانید تفاوت در چیست؟ ویگتنشتاین، فیلسوف تحلیلی است و شروع فلسفه تحلیلی بسیار مدیون او است. ظاهراً از استادش راسل این‌طور نقل کرده‌اند: گفت نزد من آمد و گفت تشخیص شما چیست، استاد؟! اگر من فیلسوف می‌شوم بمانم، اما اگر نمی‌شوم یک شغلی را انتخاب کنم. خودش این‌طور می‌گوید: اگر من را یک احمق می‌بینی خب فلسفه خواندن را رها کنم و مهندس بشوم. اگر من را احمق نمی‌بینی خب فلسفه را ادامه می‌دهم. استاد گفته بود، صبر کن تعطیلی ها پیش بیاید، من یک مقاله می‌دهم برو بنویس تا ببینم احمق هستی تا فلسفه را رها کنی یا نه؟! خب این‌ها شروع این فلسفه تحلیلی برای او بود[10][11].»

[1] گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور (۳ مارس ۱۸۴۵؛ [در برخی منابع ۱۹ فوریه نیز گزارش شده] – ۶ ژانویه ۱۹۱۸) ریاضی‌دانی آلمانی بود. آوازهٔ کانتور بیشتر به‌خاطر ابداع نظریه مجموعه‌ها می‌باشد چرا که امروزه به نظریه‌ای بنیادین در ریاضیات تبدیل شده‌است. کانتور ایدهٔ تناظر یک به یک میان اعضای دو مجموعه را مطرح کرد، مفهوم بی‌نهایت و مجموعه‌های خوش‌ترتیب را تعریف نمود، و همچنین ثابت کرد که مجموعه اعداد حقیقی «بزرگتر» از مجموعه اعداد طبیعی است. در حقیقت، روش کانتور در اثبات این قضیه نشان می‌داد که مجموعه‌ای نامتناهی از بی‌نهایت‌ها وجود دارد. او اعداد اصلی و ترتیبی و حساب آن‌ها را تعریف کرد. دستاورد کانتور از لحاظ فلسفی نیز جایگاه ویژه‌ای دارد و وی نیز به‌نیکی از این حقیقت آگاه بود. در ابتدا تصور می‌شد که نظریه کانتور دربارهٔ اعداد ترامتناهی (ترانسفینی) تا حدود زیادی خلاف شهود—یا حتی تکان‌دهنده—است، تا آنجا که با مقاومت شدید هم‌عصران او همچون لئوپولد کرونکر و آنری پوانکاره، و بعدها هرمان ویل و لوئیتزن اخبرتوس یان براور قرار گرفت، و لودویگ ویتگنشتاین نیز در مورد نظریهٔ او ایرادهای فلسفی بیان نمود. برخی از علمای مسیحی (به‌ویژه پیروان جدید فلسفه مدرسی) نیز می‌پنداشتند که دستاورد کانتور چالشی است بر یکتایی بی‌نهایت مطلق در طبیعت خدا؛ یعنی برابر دانستن نظریه اعداد ترامتناهی با همه‌خدایی، در حالی‌که کانتور چنین مدعایی را به‌شدت رد می‌کرد. این انتقادها در برخی مواقع حتی شدت بیشتری می‌یافتند: پوانکاره از ایده‌های کانتور به‌عنوان بیماری گریوز یاد می‌کرد و می‌گفت که این بیماری نظام ریاضیات را عفونی می‌کند. کرونکر نیز در نزد عموم به‌مخالفت صریح با کانتور برمی‌خاست و به‌وی حملات شخصی می‌کرد؛ از جمله این‌که از او به‌عنوان یک "شارلاتان علمی،" یک "ازدین‌برگشته" و یک "فاسدکنندهٔ جوانان" یاد می‌کرد. کرونکر حتی از اثبات کانتور مبنی بر شمارا بودن اعداد جبری و ناشمارا بودن اعداد متعالی ایراد می‌گرفت، در حالی‌که امروزه این نتایج بخشی از برنامه استاندارد دروس ریاضی هستند. حتی دهه‌ها پس از مرگ کانتور، ویتگنشتاین با دریغ نوشت که ریاضیات "مورد تاخت‌وتاز اصطلاحات آسیب‌رسان نظریه مجموعه‌ها قرار گرفته‌است." وی چنین اصطلاحاتی را "مزخرف مطلق،" "خنده‌آور،" و "نادرست" تلقی می‌کرد. گفته می‌شود که علت مجموعه افسردگی‌های کانتور از ۱۸۸۴ تا پایان زندگی او، دشمنی بسیاری از معاصرانش با وی بوده‌است، اگرچه برخی نیز از این افسردگی‌ها به‌عنوان ظهور اختلال دوقطبی در وی یاد می‌کنند. این انتقادهای شدید، بعدها به تحسین و تمجید تبدیل شدند. در سال ۱۹۰۴، انجمن سلطنتی جایزهٔ مدال سیلوستر را به‌وی داد که به‌عنوان بزرگترین جایزه و افتخاری تلقی می‌شود که برای دستاورد ریاضی به شخصی اهدا می‌گردد. گفته می‌شود کانتور بر این باور بوده که نظریه اعداد ترامتناهی از سوی خدا به‌وی الهام شده بوده‌است. مشهور است که داوید هیلبرت از دستاورد کانتور در برابر منتقدان، این‌چنین دفاع می‌کرد: "هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور آفریده، بیرون کند."(سایت ویکی پدیا)

[2] داویت هیلبرت (آلمانی: David Hilbert، ‏۲۳ ژانویه ۱۸۶۲ – ۱۴ فوریه ۱۹۴۳) ریاضی‌دان آلمانی و از مشهورترین ریاضی‌دانان قرن نوزدهم و آغاز قرن بیستم میلادی بود. او از اثرگذارترین ریاضی‌دانان در پیدایش و گسترش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت است. هیلبرت طیف وسیعی از ایده‌های اساسی را در بسیاری از زمینه‌ها شامل نظریه ناوردا، حساب تغییرات، جبر جابجایی، نظریه جبری اعداد، بنیان‌های هندسه، نظریه طیفی عملگرها و کاربردهای آن در معادله انتگرالی، ریاضی فیزیک و نظریه برهان، کشف و توسعه داد.

او در کونیگس‌بِرگ زاده شد و ۱۸۸۴ از دانشگاه این شهر دکترا گرفت و نزدیک ده سال را به تدریس در آن دانشگاه گذراند. سپس در ۱۸۹۵ به استادی دانشگاه گوتینگن رسید و تا پایان عمر در این شهر زیست.(سایت ویکی پدیا)

[3] در این زمینه به مقاله «GEORG CANTOR AND THE BATTLE FOR TRANSFINITE SET THEORY» (گئورگ کانتور و نبرد برای نظریه مجموعه های فرامتناهی) مراجعه فرمایید.

[4] "No one shall drive us from the paradise which Cantor has created for us."( A glimpse of Cantor's paradise )

در این زمینه همچنین به صفحه«بهشت کانتور» در سایت فدکیه مراجعه فرمایید.

[5] جلسه ۸ فقه هوش مصنوعی

[6] ملاصدرا در بیان اقسام بی نهایت و تفکیک بین بی نهایت بالقوة و بی نهایت بالفعل می فرماید:

و منها أن غير المتناهي على معنيين: أحدهما بالقوة و هو غير المتناهي اللايقفي

 و ثانيهما بالفعل و هو غير المتناهي العددي، و مقدورات الله تعالى عند المتكلمين غير متناهية بالمعنى الأول لا بالمعنى الثاني لأنهم منكرون لوجود الغير المتناهي بالفعل  مرتبا كان أو غير مرتب متعاقبا كان أو مجتمعا و التفاوت إنما يجوز في غير المتناهي بالمعنى الأول كقبول الجسم عند الحكماء للأنصاف المتداخلة غير المتناهية و الأرباع المتداخلة غير المتناهية و الثانية نصف الأولى.(الحکمة المتعالیة، ج ٧، ص ٣١٨)

شهید مطهری بی نهایت بالقوة را این گونه تبیین می کند:

اعداد متناهى نيستند؛ يعنى اگر اعداد را بيان كرده و بالا برويم و بگوييم ۱، ۲، ۳،...، ۱۰۰۰،...، ۱۰۰۰۰۰۰،...  هر چه بالا برويم به عددى كه ما فوق آن نتوان عددى را فرض كرد نمى‌رسيم. هر عددى را كه ما فرض كنيم باز هم ما فوق آن عددى فرض مى‌شود، بلكه براى آن عدد دو برابر هم فرض مى‌شود، بلكه خودش ضرب در خودش هم فرض مى‌شود، خود آن به قوۀ ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و... هم فرض مى‌شود. هر عددى را كه شما اعتبار كنيد و بگوييد اين آخرين عدد است باز هم بالاتر از آن عدد است. اين است كه مى‌گويند اعداد غير متناهى است.

امّا اينكه مى‌گويند اعداد غير متناهى است، منظور غير متناهى بالفعل نيست، بلكه منظور «غير متناهى لا يقفى» است. لايتناهى بالفعل يعنى اينكه ما يك موجود بالفعل غير متناهى داشته باشيم، مثل اينكه كسى بگويد ستاره‌هاى عالم بالفعل غير متناهى‌اند، ذرّات عالم بالفعل غير متناهى‌اند؛ كه اگر كسى گفت ستاره‌ها بالفعل غير متناهى است، بايد بگوييم ما الآن غير متناهى عدد ستاره در خارج داريم. اين يك مسأله است. امّا آنكه مى‌گويد عدد غير متناهى است، به اين معنا نمى‌گويد. منظور غير متناهى لا يقفى است. غير متناهى لا يقفى به ذهن ما برمى‌گردد، به خارج مربوط نيست؛ يعنى ذهن ما هر عددى را كه اعتبار كند عدد در آنجا متوقف نمى‌گردد؛ امكان اعتبار عددى ديگر كه يكى بيشتر يا دوتا بيشتر يا دو برابر آن يا هزار برابر آن باشد هست. اين را مى‌گويند «لا يتناهى لا يقفى». شيخ همين جا اشكال خود را وارد مى‌كند.(مجموعه آثار شهید مطهری، ج ٧، ص ۵۶٧-۵۶٨)

تناهى به دو معناست: يكى تناهى عددى، و ديگر تناهى لا يقفى.

 نامتناهى عددى آن است كه شىء بالفعل موجود و نامتناهى باشد، مثلا خط و سطح و جسم بالفعل موجود باشد و نهايت نداشته باشد. و نامتناهى لا يقفى آن است كه بالفعل موجود نباشد، بلكه به هر مرتبه كه رسد باز در آن چيزى بتوان فرض نمود.چنانچه حكما گويند كه جسم قابل قسمت است الى غير النهاية، كه هر اندازه جسم را تقسيم كنيم باز هم قابل قسمت است و به انتهاء نمى‌رسد. و اينكه حكما گويند نامتناهى وجود ندارد مقصود نامتناهى عددى است، ولى نامتناهى لايقفى جائز و واقع است، مثل اينكه جسم به نامتناهى تقسيم مى‌شود و اين قسمتها به جايى نمى‌رسند كه ديگر تقسيم نشوند. حكماى قديم يونان مى‌گفتند ابعاد نامتناهى است.(مجموعه رسائل عرفانی و فلسفی،ص ٢۶٩)

این اصطلاح اولین بار در کلام ارسطو به کار رفته است. او در این باره می گوید:

قال الإسكندر: هل المتحرك على عظم ما يتحرك فى أول حركته على أول جزء منه، أم لا؟ و ذلك أن كل حركة إنما صارت فى زمان لأنه ليس يمكن أن يتحرك المتحرك على الشىء الموضوع ليتحرك عليه دفعة، لكنه يقطع منه شيئا بعد شىء؛ فإذا هذا هكذا، فالمتحرك يتحرك أولا على أول جزء من أجزاء العظم الذي يتحرك عليه. فإن كان الأول فى العظم يمر بلا نهاية، فكل محرك يصير متحركا على أشياء بلا نهاية؛ و كل متحرك يتحرك بعدا  ما، فإنه يكون متحركا آخرا بلا نهاية أولية. و الأشياء التي بلا نهاية لا تقطع مسافتها، فنقول: إنه لا بد - إذ كانت قسمة الأشياء المتصلة بلا نهاية - من أحد أمرين: إما أن تكون الحركة لا تجوز أولا على الجزء الأول، أو تكون قد تجوز على الجزء الأول من العظم إنما هو من قبل أن فى العظم المتصل جزءا يتقدم و جزءا يتأخر. و ذلك أنه ليس الأجزاء فى المتصل بحال غير الحال التي نقول بها إن المتحرك نفسه يقطعها؛ فكيف إذا يوجد بعض الأجزاء متقدما و بعضها متأخرا فى المتصل، إما بالفعل أم بغير الفعل‌؟ فنقول: إنه ليس شىء من الأعظام المتصلة أجزاؤه منفصلة، و لا هى فى الكل بالفعل، لأن العظم إنما هو غير منقسم بالفعل؛ و لو كان منقسما بالفعل، لما كان عظما واحدا، و لا كانت الحركة واحدة. فإذ كانت الأجزاء التي فى الكل ليست بالفعل فيه فقد بقى أن يكون فى الكل الذي هو متصل بالقوة، و يكون المتقدم و المتأخر المتصل إنما هو بالقوة لا بالفعل، و يكون المتحرك عليه إنما يتحرك على الجزء الأول أولا على الحال التي يوجد بها الجزء فى العظم، و وجوده فيه بالقوة. فعلى هذه الجهة إذا يتحرك عليه. و إنما يفعل هذا من قبل أنه يتحرك عليه من غير أن يقسمه و من غير أن يجعل جزءا منه أولا و جزءا ثانيا بالفعل. و المتحرك إذا تحرك على هذه الجهة على العظم فإنما يكون متحركا فى الأجزاء الأوائل على حسب ما هى فى العظم بلا نهاية، و وجودها فى العظم بلا نهاية إنما هو بالقوة. و معنى قولنا: إنه غير متناهية القوة، لا تقطع مسافتها؛ بل إنما وضعنا ذلك فيما كان بالفعل.( أرسطو عند العرب، صفحه: ۲۷۸)

او در جای دیگر در مورد بی نهایت های بزرگ(در اعداد) و کوچک(در مقادیر) چنین می نویسد:

و بالواجب أيضا لزم أن يكون غير المتناهى أمّا بالزيادة فقد يظن أنه لا يمكن أن يتجاوز كل مقدار، و أما بالقسمة فقد يمكن؛ و ذلك أن <غير المتناهى و> الهيولى محاط بهماداخلا، و هى الشىء غير المتناهى و المحيط هو الصورة. و بالواجب أيضا صار فى العدد فى الذهاب إلى القلة نهاية، و فى الذهاب إلى الكثرة يزيد أبدا على كل عدة. و صار فى المقدار الأمر بالضد: أما إلى الصغر فقد يتجاوز كل مقدار، و أما إلى الكبر فلا يمكن أن يوجد مقدار غير متناه. و السبب فى ذلك أن الواحد غير منقسم - أىّ واحد كان - مثل الإنسان إنه إنسان واحد لا كثير، و العدد إنما هو آحاد كثيرة و كمية ما. فقد يجب أن نقف عند ما لا ينقسم، فإن الاثنين و الثلاثة إنما هى أسماء، و كذلك واحد من سائر الأعداد. و أما ذهابه إلى الكثرة فقد يمكن توهمه دائما. فإن قسمة المقدار بنصفين، و نصفه بنصفين يمر بلا نهاية، فيكون <العدد غير متناه> بالقوة ؛ فأما بالفعل - فلا. غير أنه قد يوجد منه ما يزيد دائما على كل عدة محددة، لكن هذا العدد ليس بمفارق لهذه القسمة، و لا بلا نهاية أمر باق، لكنه أمر يتكون دائما، و كذلك الزمان و عدد الزمان.

فأما المقادير فإن الأمر فيها بالضد، و ذلك أن المتصل قد ينقسم بلا نهاية؛ غير أنه فى العظم ليس يكون غير متناه. لأنه بأىّ مقدار كان يمكن أن يكون بالقوة، فإنه بذلك المقدار يمكن أن يكون بالفعل. فإذ ليس يوجد أصلا مقدار محسوس غير متناه، فليس يمكن أن يكون يفضل على كل مقدار محدود، لأن ذلك لو جاز لقد كان سيكون ما هو أعظم من السماء.( الطبیعة (أرسطو)، جلد: ۱، صفحه: ۲۶۳)

در کلمات سایرین:

و الجواب: أنّ لا نهاية إمكان القسمة خاصّة للأجسام كلّها. و كما لا يلزم من اشتراك الكلّ و الجزء في الجسميّة اشتراكهما في خصوص المقدار، كذلك لا يلزم من اشتراكهما في خاصّة الجسم، و هي لا نهاية إمكان القسمة، اشتراكهما في خصوص المقدار. سلّمنا أنّ الشيئين إذا اشتركا في عدم التناهي اشتركا في عدم التفاوت، و لكن لا مطلقا، بل فيما يكون أعدادهما الغير المتناهية حاصلة بالفعل. أمّا إذا كانت بالقوّة فلا، كيف و الوجود يكذّبه.

ألا ترى أنّ الألوف المتضاعفة إلى غير النهاية بالقوّة و الإمكان فيها من المئات الغير المتناهية بالقوّة عشرة أمثالها، و من العشرات مائة أمثالها، مع أنّ عدد كلّ عقد من الثلاثة غير متناه بالقوّة؛ بمعنى أنّا إلى أيّ حدّ انتهينا في العدد أمكن الزّيادة عليه؛ لكن لمّا لم تكن هذه الألوف الغير المتناهية حاصلة بالفعل، لم يلزم من الاشتراك في اللاّنهاية التساوي في الأعداد(حکمة الإشراق (تعلیقه ملا صدرا)، جلد: ۱، صفحه: ۳۲۲)

السادس أن العدد ليس بمتناه و معناه أنه لا توجد مرتبة من العدد  إلا و يمكن فرض ما يزيد عليها و كذا فرض ما يزد على الزائد و لا تقف السلسلة حتى تنقطع بانقطاع الاعتبار و يسمى غير المتناهي اللايقفي و لا يوجد من السلسلة دائما  بالفعل إلا مقدار متناه و ما يزيد عليه فهو في القوة  و أما ذهاب السلسلة بالفعل  إلى غير النهاية على نحو العدول  دون السلب التحصيلي  فغير معقول  فلا كل و لا مجموع لغير المتناهي بهذا المعنى  و لا تحقق فيه لشيء من النسب الكسرية  كالنصف و الثلث و الربع و إلا عاد متناهيا .(نهایة الحکمة، ص ١١٢-١١٣)

[7] برشی از مقاله گردآوری «مثال دقیق، سؤال روان؛ ابزاری برای ارائه مجردات به همگان».

[8] نمونه‌ای از تلاش برای عینی سازی بهشت کانتور را در مقاله گردآوری «مثال دقیق، سؤال روان؛ ابزاری برای ارائه مجردات به همگان» ملاحظه می‌کنید.

[9] I would say, `I wouldn't dream of trying to drive anyone from this paradise.' I would do something quite different: I would try to show you that it is not a paradise — so that you'll leave of your own accord. I would say, `You're welcome to this; just look about you.' . . .

(For if one person can see it as a paradise . . ., why should not another see it as a joke?) (Ludwig Wittgenstein)( The Infinite)

[10] راسل می‌گوید که در اواخر نخستین نیمسال تحصیلی، ویتگنشتاین در ۱۹۱۲ او پرسید: من یک احمق تمام عیارم یا نه؟ اگر بلی هوانورد خواهم شد و اگر نه فیلسوف. راسل در پاسخ پیشنهاد کرد که او در طی تعطیلات مقاله‌ای در باب یک موضوع فلسفی بنویسد. وقتی او در آغاز نیمسال جدید مقاله را به راسل نشان داد، او یک جمله از آن را خواند و گفت: نه تو نباید هوانورد شوی!(لودویگ ویتگنشتاین، ص ۱۲)

[11] جلسه سی و دوم فقه هوش مصنوعی

ج) تبیین نظریه کانتور

دسته بندی کانتور

«بهشت کانتور،  بحث راجع به مجموعه های بی نهایت ها و دسته بندی مراتبشان و اعداد ترانسفینی است.

۱. «الف صفر»: مجموعه اعداد طبیعی و...

 ایشان مجموعه ها  و بی نهایت بودنشان را رده بندی کرده است به همان حرف الفبای عبری[1]، اولین قوه بی نهایت را که اعداد طبیعی هستند اسمش را گذاشته است: «الف صفر».

[ در این کتاب‌های منطق ریاضی می‌گویند بی‌نهایتِ اومگا[2]. اپمگا، آخرین حرف است[3]. یعنی پایین‌ترین بی‌نهایت. اولین بی­نهایتی که از نظر قوت بی­نهایتی از همه کم‌تر است، همان الف صفر است. این‌ها اعداد بی‌نهایت­ ها است. یعنی همان‌طوری که عدد یک و دو داریم، بی‌نهایت­ها هم درجه ­بندی دارد. پایین‌ترین بی‌نهایت، الف صفر است که همان بی‌نهایت امگا است[4].]

«الف صفر»، کاردینالش یک کاردینالی ست که اولین درجه ی بی نهایت است.الف صفر، در اعداد ترانفسینی شروع کار است بعد هم اثبات می کند که به برهان قطری کانتور[5] معروف است، برهان خیلی خوبی است.آتئیست ها هم از این برهان برای مقاصد پوچ خودشان استفاده می کنند. در مقاله باخدایی گام به گام عرض کردم. هم استدلال آن ها را آوردم و هم عرض کرده ام که ربطی به مقصود آن ها ندارد[6].

علی ای حال با برهان قطری -در همین کتاب تاریخ ریاضیات هم هست- چه چیزی را ثابت کرده است؟ یک چیز عجیب؛ می گوید:شما بین دو و سه در مجموعه اعداد طبیعی، عددی دیگر پیدا نمی کنید. بینش چیزی نیست.اما هر دو عدد گویا بینش دوباره بی نهایت عدد گویا پیدا می کنید.این چیز کمی است؟! چه قدر گسترده می شود. در عین حال همین آقای کانتور در برهان خودش  اثبات کرده که توان بی نهایتی مجموعه اعداد گویا با این فشردگی با توان بی نهایتی مجموعه اعداد طبیعی که می شمریم برابر است. لذا می گوید هر دو شمارا هستند شمارا یعنی تناظر یک به یک دارند.تناظر یک به یک در بی نهایت ها.

۲. «الف یک»: مجموعه اعداد حقیقی

اما وقتی می رسد به مجموعه اعداد حقیقی می گوید نه دیگر.توان بی نهایتی مجموعه اعداد حقیقی که اعداد گنگ هم در آن هست، بیش از «الف صفر» است لذا اسمش را گذاشته است: «الف یک».«الف یک» می شود مجموعه اعداد حقیقی که این همه گستردگی و این همه مباحث برایش مطرح شده است.می گویند: مجموعه اعداد حقیقی، به اندازه کافی فشرده است؛
یعنی غیر از این که هر دو نقطه اش بینش بی نهایت نقطه و عدد هست، هیچ جای خالی هم بینش نمی توانید پیدا کنید و لذا ناشماراست. کانتور برهان خلف اقامه می کند که «الف یک» مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست. یعنی دیگر با اعداد طبیعی هم قوه نیستند. [یعنی خطی که اعداد حقیقی است، اعداد طبیعی و شمارشی نمی‌تواند آن‌ها را بشمارد[7]]

از همین  برهان خلف کانتور، یک مبنای فلسفه ریاضی پیدا شده است[8].

مبانی سه گانه در فلسفه ریاضیات

سه تا مبنا هست در منطق ریاضی و فلسفه  ریاضی که زیاد از آن اسم می برند:

۱. صورت گرایی[9] فرمالیسم،

۲.  منطق گرایی [10]Logicism،

۳. یکی هم شهودگرایی مال براور[11].

شهودگرایی همین است. می گوید: برهان خلف کانتور را در اثبات «الف یک»، مجموعه اعداد حقیقی  قبول ندارم.باید حتماً  بسازیم تا اثبات کنیم. به صرف برهان خلف اثبات نمی شود.این ها هم بحث های خوبی است که در قرن بیستم انجام شده است[12].»

[1] الفبای عبری از ۲۲ حرف تشکیل شده‌است. صداهای زیر شیوهٔ تلفظ حروف عبری هستند

آلِف א -- بِت ב – وِت ב -- گیمِل ג – دالِت ד – هِ ה – واو ו – زایین ז – خِت ח – تِت ט – یُد י – کاف כ – خاف כ -- خافْ سُفیت ך -- لامِد ל – مِم מ – مِمْ سُفیت ם -- نون נ – نون سُفیت ן -- سامِخ ס – عایین ע – پِ פ -- فِ פ -- فِ سُفیت ף -- تْسادی צ – تْسادی سُفیت ץ -- کُف ק – رِش ר – شین ש – سین ש -- تاو ת

[2] Aleph-omega is

ℵω = sup{ ℵn | n ∈ ω } = sup{ ℵn | n ∈ {0, 1, 2, ...} }

where the smallest infinite ordinal is denoted as ω. That is, the cardinal number ℵω is the least upper bound of

{ ℵn | n ∈ {0, 1, 2, ...} }.

Notably, ℵω is the first uncountable cardinal number that can be demonstrated within Zermelo–Fraenkel set theory not to be equal to the cardinality of the set of all real numbers 2ℵ0: For any natural number n ≥ 1, we can consistently assume that 2ℵ0 = ℵn, and moreover it is possible to assume that 2ℵ0 is as least as large as any cardinal number we like. The main restriction ZFC puts on the value of 2ℵ0 is that it cannot equal certain special cardinals with cofinality ℵ0. An uncountably infinite cardinal κ having cofinality ℵ0 means that there is a (countable-length) sequence κ0 ≤ κ1 ≤ κ2 ≤ ... of cardinals κi < κ whose limit (i.e. its least upper bound) is κ (see Easton's theorem). As per the definition above, ℵω is the limit of a countable-length sequence of smaller cardinals.(Wikipedia)

‏عدد ترتیبی مجموعه اعداد طبیعی N ، با رابطه کوچکتر یا مساوی معمولی، را معمولاً با حرف یونانی امگا ωنشان می‌دهند؛ یعنی:

ω =ord(1,2,3,…) (آشنایی با نظریّه مجموعه‌ها و کاربردهای آن، ص ۱۶۹)

بررسی اعداد اردينال به تعاريف مقدمات زيادینياز دارد وما آنها را به صورت فشرده ای اينجا بيان می كنيم :

در تمام اين بحث صفر را هم عضوی از اعداد طبيعی در نظر ميگيريم.

مجموعه خوش ترتيب: يك مجموعه همرا با يك رابطه ترتيب را خوشترتيب گوييم هرگاه هر زير مجموعه آن دارای عضو اقل (كوچكترين عضو ) باشد. مثل مجموعه اعداد طبيعي.

دو مجموعه مرتب كه تنها برچسب گذاری اعضايشان با هم تفاوت دارد را يكريخت ترتيبی (order isomorphic) گوييم، به اين معنا كه " عضوی از مجموعه اول از عضوی ديگردر اين مجموعه كوچكتر باشد اگر وتنها اگر همتای آن عضوی از مجموعه دوم پيدا شود كه از عضوی از آن مجموعه كوچكتر است" ، كه به اين تناظر يك به يك يكريختی ترتيبی (order isomorphism) گويند.مثلا مجموعه های خوش ترتيب {3و2و1}و {16و15و14}يكريخت ترتيبی هستند . يعنی اولين عضو در يك مجموعه برچسب 1 و در مجموعه ديگر برچسب 14 دارد وبه همين ترتيب دومين و سومين عضو .

اكنون می توان با اين يكريختی رده های هم ارزی تعريف كرد.كه در هر رده همه مجموعه های يكريخت ترتيبی قرار دارند.

اعداد اردينال

اولين تعريف عدد اردينال :يك عدد اردينال مجموعه خوشترتيبی است مثل a كه هر عضو آن مثل x برابر با مجموعه عناصری از a باشد كه از x كوچكترند.

اعداد اردينال در رياضيات به زبانهای مختلفی تعريف شده اند،اكنون ما به بررسی مختصر ماهيت آن می پردازيم.

به زبان خيلی ساده اعداد اردينال رده های هم ارزی مجموعه های خوشترتيب را برچسب گذاری می كند.يا هر عدد اردينال يك نماينده از دسته هم ارزی مجموعه های خوشترتيب را مشخص می كند.

در حالت خيلی ساده مجموعه اعداد طبيعی را در نظر بگيريد ،زير مجموعه های زير را در نظر بگيريد

{},{0},{0,1},{0,1,2},.......

(كه اين زير مجموعه ها در واقع نماينده مجموعه های مرتب متناهی هستند)

برای اين زير مجموعه ها دو نوع برچسب گذاری می توانيم انجام دهيم

1. برچسب كاردينالی كه به هر مجموعه تعداد اعضا (بحث بر روی اندازه مجموعه(size) ) را نسبت می دهدمثلا برچسب مجموعه {1و0} عدد 2 خواهد بود.

 2. برچسب اردينالی كه به هر مجموعه برچسب ترتيب آن مجموعه(بحث روی موقعيت اعضا position) را می زند ،‌ توجه داريم كه اين مجموعه ها نماينده رده های ترتيبی مجموعه های مرتب متناهی هستند مثلا مجموعه{2و1و0} نماينده همه مجموعه های ترتيبی 3 عضوی است.البته در حالت متناهی اين دو نوع برچسب گذاری يكسان هستند(چون هر دو مجموعه ترتيبی متناهی با تعداد اعضای يكسان يكريخت ترتيبی هستند). اما در حالت نا متناهی كاملا متفاوتند .

خب پس تا اينجا اعداد اردينال متناهی به صورت زير تعريف شده اند(كه در اين حالت همان اعداد طبيعی هستند)

0,1,2,3,....

كه برچسب مجموعه های خوشترتيب و متناهی زير هستند:

{ } ,{0} ,{0,1} ,{0,1,2},.....

به طور مثال عدد اردينال 26 يعنی مجموعه خوشترتيب {25و......و1و0}

پس برای مجموعه های مرتب متناهی كه اعداد اردينال (كه گاهی برای سادگی فقط می گويند اردينال) چيز جديدی نيستند.اما در حالت نامتناهی وضع به كلی فرق ميكند به هر مجموعه نامتناهی تنها يك برچسب اندازه (كاردينال )دارد اما يك مجموعه خوش ترتيب نامتناهی می تواند چند رده خوشترتيب غير يكريخت داشته باشد.  

در واقع گسترش و توسيع برچسب اندازه برای مجموعه های نامتناهی منجر به تعريف كاردينال يك مجموعه و گسترش و توسيع برچسب ترتيب مجموعه های نامتناهی منجر به تعريف اردينال يك مجموعه می شود. 

مجموعه همه اعدادطبيعی {...و4و3و2و1و0} كه يك مجموعه نامتناهی و خوشترتيب است اولين عدد اردينال نامتناهی را مشخص ميكند كه آنرا با ω نمايش ميدهيم . 

اعداد اردينال را ميتوان با هم جمع، ضرب يا به توان رساند، اما جمع و ضرب آنه لزوما خاصيت جابجايی ندارند يعنی مثلا ω =1+ω ولی اين اكيدا كوچكتر از ω+1 هست و ω برابر2ضربدر هستش.اما اكيدا كوچكترازω.2 هست (نحوه جمع و ضرب اين اعداد را می توانيد در مراجع مشاهده كنيد).وداريم

 ω={0,1,2, ......}

ω+1={0,1,2,....,ω

.....

 كه عدداصلی همه مجموعه های اخير همان عدد اصلی اعداد طبيعی (الف نات)هستش و مجموعه همه اعداد اردينال شمارا را با
ω1نشان می دهيم وعدد اصلی آن الف يك هست.و اين اولين عدد اردينال ناشماراست.

اكنون می توان اين مجموعه ها رو ادامه داد ومجموعه خوشترتيب اعداد اردينال مجموعه زير خواهد شد

1, 2, ...,, ,, ..., ,,....

مثلا ω يعنی مجموعه همه اردينالهای متناهی و 3 يعنی برچسب همه3 عضوی های خوشترتيب والی آخر 

بحث اردينالها يك بحث فوق العاده پركاردر نظريه مجموعه هاست كه تعريف های آن در رياضيات با ابزارهايی مثل توپولوژی ، نيز آمده است و من هرچه مينويسم باز هم ميبينم قسمتهای زيادی برای گفتن مانده برای مطالعه بيشتر به آدرسهای كه درپايان مطلب خواهم گذاشت می توانيد مراجعه كنيد.

در نهايت تعريف جان فون نويمان رياضيدان معاصر را از عدد اردينال ذكر ميكنيم كه می توانيد انطباق تعاريف بالا از عدد اردينال را با تعريف فون نويمان در مثال زير تعريف ببينيد.(زندگی با ریاضیات، مقاله آشنایی با اعداد اوردینال)

در این زمینه همچنین: Why is ω the smallest ∞?

باید توجه داشت که کانتور علاوه‌بر بیان مجموعه اعداد ترانفسینی، از مفهومی با عنوان نامتناهی مطلق یا absolute infinite  با نماد حرف بزرگ امگا (Ω)یاد می‌کند که بسط و توسعه مفهوم نامتناهی است و با مجموعه بی‌نهایت امگا متفاوت است.( (absolute infinite

[3] اومگا (بزرگ: Ω، کوچک: ω; یونانی Ωμέγα) بیست و چهارمین حرف الفبای یونانی است. و در دستگاه شمارش یونانی مقدار ۸۰۰ را دارد. نام این حرف به معنی اوی بزرگ است (ō مگا، مگا به معنی بزرگ است)، که در مقابل امیکرون است "little O" (به معنای اوی کوچک).

[4] جلسه شرح توحید صدوق، تاریخ 26/9/1398.

[5] در نظریه مجموعه‌ها، استدلال قطری کانتور در سال ۱۸۹۱ توسط گئورگ کانتور به عنوان یک اثبات ریاضی ارائه گردید و نشان داد مجموعه‌های نامتناهی وجود دارند که اعضای آن‌ها در تناظر یک به یک با مجموعه اعداد طبیعی نیستند. چنین مجموعه‌هایی را «مجموعه ناشمارا» می‌نامند.

مجموعه غیرقابل شمارش

کانتور، در مقاله‌ی خود در سال ۱۸۹۱، مجموعه T‌ را مطالعه کرد که شامل همه دنباله‌های رقم‌های دودویی (یعنی هر رقم صفر یا یک) باشد. او با اثباتی ساختی از قضیه زیر شروع می‌کند:

    اگر s1, s2, … , sn شامل تمامی شمارش‌های ممکن از T باشد، آنگاه همواره عضوی از T وجود خواهد داشت که در بین s1,S2,... نخواهد بود.

برای اثبات این، مجموعه‌هایی از T را به شکل زیر انتخاب می‌نماییم:

    s1 =        (۰,            ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ...)

    s2 =        (۱,            ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ...)

    s3 =        (۰,            ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ...)

    s4 =        (۱,            ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ...)

    s5 =        (۱,            ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۱,             ...)

    s6 =        (۰,            ۰,             ۱,             ۱,             ۰,             ۱,             ۱,             ...)

    s7 =        (۱,            ۰,             ۰,             ۰,             ۱,             ۰,             ۰,             ...)

    ...

او ساختار توالی s را با انتخاب مکمل اولین رقم در s1 انتخاب نمود (جایگزینی صفر به جای یک و برعکس)، برای انتخاب دومین رقم S به سراغ رقم دوم در s2 رفت و مکمل آن را انتخاب نمود و به همین ترتیب ادامه داد. در مثال فوق به نتایج زیر می‌رسیم:

    s1            =              (۰,            ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ۰,             ...)

    s2            =              (۱,            ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ۱,             ...)

    s3            =              (۰,            ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ...)

    s4            =              (۱,            ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ...)

    s5            =              (۱,            ۱,             ۰,             ۱,             ۰,             ۱,             ۱,             ...)

    s6            =              (۰,            ۰,             ۱,             ۱,             ۰,             ۱,             ۱,             ...)

    s7            =              (۱,            ۰,             ۰,             ۰,             ۱,             ۰,             ۰,             ...)

    ...

    s              =              (۱,            ۰,             ۱,             ۱,             ۱,             ۰,             ۱,             ...)

با ساخت s به روش فوق به مجموعه‌ای می‌رسیم که با تمامی مجموعه‌های بالا متفاوت است زیرا عنصر n ام آن با عنصر n ام تمام مجموعه‌های بالا تفاوت دارد.

بر اساس این قضیه کانتور با استفاده از یک اثبات با تناقض نشان می‌دهد که:

    مجموعه T غیرقابل شمارش است.

او برای اثبات تناقض در ابتدا فرض می‌کند T شمارا است. پس همه عناصر آن به شکل s1,s2,...sn قابل نمایش هستند. با اعمال قضیه قبلی به این شمارش‌ها به توالی s می‌رسیم که در شمارش‌ها موجود نیست. اما s عنصری از T بود و بنابراین باید در شمارش‌ها باشد. این تضاد فرض اصلی را زیر سؤال می‌برد بنابراین T غیرقابل شمارش است.(سایت ویکی پدیا) همچنین ملاحظه کنید: Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument

تصویر روشن‌تری از این برهان را در اینجا می‌توانید مشاهده کنید.

در زمینه کاربرد برهان قطری در مباحث حکمت نیز مطالعه مقاله «بررسی اهمیت فلسفی برهان قطری کانتور» سودمند است.

[6] این بخش از مقاله با خدایی گام به گام را در فصل دوم این نوشتار ملاحظه خواهید کرد.

[7] جلسه شرح توحید صدوق، تاریخ 26/9/1398

[8] سه فلسفه اصلی یا مکتب تفکر در رابطه با مبانی ریاضیات پیدا شده است به اصطلاح مكتب منطق گرا، مكتب شهودگرا و مكتب صوری گرا .طبیعی است که هر فلسفه نوین مبانی ریاضیات باید ، به نحوی، با بحران کنونی درمیانی ریاضیات مقابله کند . در بخش آتی به طور مختصر این سه مکتب فکری را مورد بررسی قرار داده و متذکر خواهیم شد که چگونه هر یک از اینها راهی برای مواجهه با تعارضهای نظریه عام مجموعه ها در پیش پا می گذارد. (تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۳۲۰)

[9] تز صوری گرا این است که ریاضیات با دستگاه های نمادی صوری سر و کار دارد. در واقع ریاضیات مجموعه ای از آن مباحث مجرد تلقی می شود که در آن اصطلاحات صرفا نمادهایی هستند و احکام قواعدی متضمن این نمادها. پایه غائی ریاضیات در منطق قرار ندارد و بلکه تنها در مجموعه ای نشانه ها و نمادهای پیش منطقی و در  مجموعه ای از اعمال با این نشانه ها واقع است. چون از این دیدگاه، ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی آرمانی است، برقراری سازگاری شاخه های مختلف ریاضیات قسمت مهم و لازمی از برنامه صوری گرایی می شود. بدون همراهی چنین برهان سازگاری، تمام مبحث اساس بی معنی خواهد شد. در تز صوری گرایی اصل موضوعی ریاضیات در بیشترین حد دنبال می شود.

مکتب صوری گرایی توسط داوید هیلبرت بعد از اتمام کارش در بررسی اصل موضوعی هندسه تاسیس شد. در مبانی هندسه اش 1899 هیلبرت روش ریاضی را از قالب مبحث اصل موضوعیهای مادی اقلیدس به قالب دقیق تر مبحث اصل موضوعیهای صوری کنونی در آورده بود. دیدگاه صوری گرا بعدا برای مقابله با بحران ناشی از پارادوکسهای نظریه مجموعه ها و به مبارزه طلبیدن ریاضیات کلاسیک به دلیل انتقادهای شهودگرایانه، به وسیله هیلبرت ایجاد شد. گرچه هیلبرت پیش از سال 1904 اصطلاحات صوری گرایانه را به کار برده بود تا بعد از سال 1920 وی و همکارانش برنیس، آکرمان، فون نویمان، و دیگران کار جدی را درباره آنچه امروزه برنامه صوری گرا نامیده می شود آغاز نکردند.

 توفیق یا شکست برنامه هیلبرت برای نجات ریاضیات کلاسیک در گرو حل مسئله سازگاری است. بری بودن از تناقض  تنها به کمک برهان های ناسازگاری تضمین می شود و برهان های ناسازگاری قدیمی تر مبتنی بر تعابیر و مدل هایی است که مسئله سازگاری را از یک حوزه ریاضیات به حوزه دیگر منتقل می کند. به عبارت دیگر یک برهان سازگاری به روش مدلها صرفا برهانی نسبی است. بدین جهت هیلبرت روش مستقیم جدیدی برای مسئله سازگاری تدبیر کرد. بسیار شبیه به اثبات انچه وضعیت هایی خاص در یک بازی بنابر قواعد آن نمی توانند در بازی پیش آیند هیلبرت امید آن را داشت تا به کمک مجموعه مناسبی ار قواعد عمل برای به دست آوردن فرمول های قابل قبول از نمادهای اساسی ثابت کند که فرمول متناقضی هرگز پیش نمی آید. با نمادهای منطقی یک فرمول متناقض فرمولی که از نوع " F و نه F " است که در آن F فرمول پذیرفته شده ای از دستگاه است. اگر بتوان نشان داد که چنین فرمول متناقضی ممکن نیست آنگاه سازگاری دستگاه ثابت شده است.

 بسط افکار فوق برای آزمون مستقیم سازگاری دری ریاضیات توسط هیلبرت، نظریه برهان نامیده شد. برای دستگاه های مقدماتی معینی براهین سازگاری فراهم شدند که آنچه را هیلبرت میل به انجام آن برای همه ریاضیات کلاسیک داشت نشان می دهد ولی در کل مسئله ناسازگاری برای دستگاه بدون چاره ماند.

 در حقیقت برنامه هیلبرت حداقل به شکلی که در اصل در ذهن او بود ظاهرا محکوم به شکست بود این حقیقت توسط کورت گودل در سال 1931 عملا قبل از انتشار مبانی ریاضی، آشکار شد. گودل به کمک روش های بی ایراد و قابل قبول برای پیروان هر یک از سه مکتب اصلی فلسفه ریاضیات نشان داد که برای دستگاه قیاسی که به حد کافی صوری شده باشد نظیر دستگاه هیلبرت برای همه ریاضیات کلاسیک اثبات سازگاری دستگاه به کمک روش های متعلق به خود آن دستگاه میسر نیست. این قضیه قابل توجه پیامد قضیه اساسی تری داشت گول ناکامل بودن دستگاه هیلبرت را ثابت کرد یعنی وی وجود مسائل "تصمیم ناپذیر" را در داخل دستگاه که سازگاری دستگاه از آن جمله است نشان داد. این قضایا نشان می دهند که دستگاه های ریاضی که برای استخراج ریاضیات مناسب شناخته شده اند قابل اطمینان نیستند بدین معنی که سازگاری آنها را نمیتوان با روش های متناهی داخل دستگاه صوری شده اند ثابت کرد و حال آنکه هر دستگاهی که از این لحاظ مطمئن تشخیص داده شده نامناسب است.(مقاله صوری گرایی در ریاضیات استفاده شده از مطالب کتاب تاریخ ریاضیات)

[10] پئانو نظریه ی اعداد طبیعی را اصل موضوعی ساخت و قدم اصلی را برای حسابیدن ریاضیات، یعنی تحویل ریاضیات به حساب، برداشت. وی سه مفهوم اولیه صفر، عدد و تالی را ارائه کرد ( مقصود از عدد، عدد طبیعی و منظور از تالی، عدد بعدی در تربیت طبیعی بود، مثلاً یک تالی صفر است، دو تالی یک است و قس علی هذا). سپس پنج اصل موضوع زیر ( موسوم به اصول پئانو) را وضع کرد:

الف) صفر یک عدد است.

ب) تالی هر عدد، یک عدد است.

ج) صفر تالی هیچ عددی نیست.

د) هیچ دو عدد متفاوتی دارای تالی برابر نیستند.

ه) هر خاصیتی که به صفر و به تالی هر عدد دارای آن خاصیت متعلق، باشد، به همه اعداد متعلق است ( اصل استقرای ریاضی). به این ترتیب می توانیم رشته اعداد طبیعی را با شروع از صفر و گذر از یک عدد مانند n به تالی آن یعنی (s(n در دست داشته باشیم.

جمع به سادگی قابل تعریف است. در واقع به ازای هر m ، عدد 0+mرا برابر m قرار می دهیم و اگر m+n داده شده باشد،(m+s(nرا برابر تالی m+n یعنیs(m+n) تعریف می کنیم. ضرب نیز به طور مشابه تعریف می شود و به دنبال آن می توان همه قضایای حساب ( مقدماتی) را اثبات نمود.
کار پئانو ایرادتی داشت، از جمله این که دستگاه قیاسی وی قابلیت پذیرفتن تعدادی نامتناهی تعبیر را داشت. یک تعبیر این است که صفر را به معنی صد، عدد را به معنای اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی صد و تالی را به معنای معمولی آن می گیریم. در این صورت هر پنج اصل موضوع پئانو، احکام صادقی خواهند بود ( توجه کنید که صد تالی نود و نه نیست زیرا در این الگو نود و نه عدد نیست!).

بر طبق نظر راسل، در دستگاه پئانو چیزی برای تمیز دادن الگوهای متفاوت وجود نداشت. ما می دانیم « صفر» چه باید باشد، به ویژه نمی خواهیم به معنای صد باشد. دستگاهی که در آن صفر به معنای صد است به درد زندگی نمی خورد. می خواهیم اعدادمان چنان باشند که بتوانند برای شمارش اشیای معمولی به کار روند.

در 1884 فرگه به منطقیدن حساب، یعنی تقلیل حساب به منطق ( و با توجه به کار پئانو، در واقع منطقیدن ریاضیات) همت گماشت و اولین مکتب ریاضی را به نام منطق گرایی، که به عقیده ی کواین یک رهیافت افلاطون گرایانه به ریاضیات بود، تأسیس کرد . هدف این مکتب تحویل ریاضیات به منطق بود، یعنی اثبات این که ریاضیات شاخه ای از منطق ( جدید و نه سنتی ) است.

به زعم فرگه عدد چیزی است که مشخصه اعداد است همان طور که انسان مشخصه انسان ها است. یک عدد خاص مانند 3 نمونه ای از عدد است و یک گروه سه نفری نمونه ای از عدد 3 است، و نه عدد. خود عدد 3 چیزی است که بین همه ی گرد آیه های سه عضوی مشترک است. فرگه صفر را گرد آیه ی متشکل از مجموعه ی تهی، 1 را گرد آیه ی متشکل از همه مجموعه های تک عضوی، 2 را گرد آیه متشکل از همه ی مجموعه های دو عضوی و ...تعریف کرد.

با این حال همه ی این ها، توسط راسل دوباره کشف شد. در واقع منطق گرایی در حدود 1910 توسط راسل و وایتهد تنقیح شد. این دو نفر سعی کردند نشان دهند تمام ریاضیات کلاسیک که تا آن زمان شناخته شده بود از نظریه ی مجموعه ها و این نظریه در جای خود از اصول موضوع مذکور در کتاب اصول ریاضیات آن ها مشتق می شود و بالاخره که این اصول موضوع متعلق به منطق هستند.

آن ها در ارائه ی منطق گرایی نظریه ی انواع و اصل تقلیل پذیری را به کار بردند. اما برنامه ی آن ها ناقص بود، زیرا مثلاً این اصل موضوع که مجموعه های نامتناهی وجود دارند یک حکم منطقی ( یعنی حکمی با عمومیت کامل که صدقش در پرتو صورتش باشد نه محتوایش) نبود. در واقع پذیرش این اصل به خاطر آشنایی ما با مجموعه های نامتناهی مانند مجموعه اعداد طبیعی یا مجموعه نقاط فضای سه بعدی بود، یعنی بر مبنای مضمون این اصل، نه صورت آن. همین وضعیت در مورد اصل انتخاب نیز برقرار بود. مشکل دیگر این بود که فرآیند استخراج قضایا از اصول منطق، طویل، پیچده و ملال آور بود و با دید شهودی ما از ریاضیات منطبق نبود. به این ترتیب، منطق گرایی در ارائه قواعد و اصول زیر بنایی ریاضی شکست خورد.(سایت راسخون، مقاله منطق گرایی در ریاضیات)

[11] تز شهودگرا آن است که ریاضیات باید منحصراً به توسط يك عدهم تناهی از روشهای سازنده درباره دنباله اعداد طبیعی که به طور شهودی در نظر گرفته شده اند بنا شود. لذا مطابق این نظر در زیربنای ریاضیات شهود اولیه ای قرار دارد که بدون تردید با حس گذرایی قبل و بعد در وجود ما همراه است و به ما اجازه می دهديك چیز واحد، سپس یکی دیگر سپس یکی دیگر و همینطور تا به طور بی پایان را تصور کنیم. بدین ترتیب دنباله های بی انتها را به دست می آوریم که معروفترین آنها دستگاه اعداد طبیعی است. از این مبنای شهودی دنباله اعداد طبیعی هر شی ریاضی دیگر را باید به يك روال سازنده بنا کرد و در آن تعدادی متناهی از مراحل یا اعمال را به کار برد در تز شهود گرابسط ریاضیات از لحاظ تکوینی تا سر حد امکان دنبال می شود.

مکتب شهودگرا ) به عنوان يك مكتب ( در حدود سال ۱۹۰۸ به توسط ریاضیدان هلندی ل . ا . ى . بر اوثر آغاز شد ولی برخی مفاهیم شهودگرایانه قبلا توسط کسانی چون کرونکر در سالهای (۱۸۸۵) و پوانکاره (۱۹۰۲ - ۱۹۰۶) ابراز شده بود. این مکتب با گذشت زمان تدریجاً تقویت شده، برخی از ریاضیدانان برجسته کنونی را به خود جلب کرده و تأثیر فوق العاده ای در تمام افکار مربوط به مبانی ریاضیات گذاشته است.

برخی از پیامدهای تز شهودگرا جنبه انقلابی دارند. مثلاً پافشاری بر روشهای سازنده به تصوری از وجود در ریاضیات منجر میشود که آن چیزی نیست که همه ریاضیدانان به آن اعتقاد داشته باشند برای شهودگرایان ، هستیی که اثبات وجود آن لازم است باید در تعدادی مراحل متناهی ساختنی باشد کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقض شود. این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی زیادی که در ریاضیات کنونی دیده میشوند برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.

مورد مهمی از پافشاری شهودگرایان بر روشهای سازنده نظریه مجموعه هاست. از نظر شهودگرايان يك مجموعه را نمی توان به عنوان گردایه ساخته و پرداخته ای تصور کرد بلکه باید آن را به عنوان قانونی تلقی کرد که به کمک آن عناصر مجموعه را بتوان به يك روال قدم به قدم بنا کرد. این مفهوم مجموعه امکان وجود مجموعه های تناقض آمیزی مانند مجموعه همه مجموعه ها » را رد می کند. (تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۳۲۴)

در این زمینه همچنین مراجعه کنید به سایت بریتاینکا: مقاله Logicism, intuitionism, and formalism

[12] جلسه سوم تاریخ اجمالی ریاضیات؛ بحران‌ها و مسائل