مثال های مناسب:

• مفهوم «ثابت»
• ١.عدد پی
• ٢.علامت جمع(+)
• ٣.نقطه طلایی
• ۴.شکل عروس
• ۵.نسبت های مثلثاتی
• ۶.نقطه نصف
• بازگشت به عدد پی

مفهوم «ثابت»

ما یک چیزهایی داریم که امروزه هم بسیار گسترده شده، هم در حوزه فیزیک[1]، هم در حوزه ریاضی[2] و هم در سایر علوم. شاید بالای ۲۰۰-۳۰۰ تا، ثابت داریم. ثابت‌ها یک اعدادی هستند که خیلی برای مثال‌هایی که ما می‌خواهیم کاراست.

ثابتات فیزیکی

ثابت‌های فیزیکی هر چه هست باز مربوط می‌شود به کمّ متّصل غیر قارّ. یعنی به عالم افراد طبایع، عالم حرکت، عالم زمان، عالم فیزیکی. اینها را ثابتات فیزیکی می‌گوییم، بحث خاصّ خودش را دارد. اما اگر ابتدا به ساکن سراغ ثابتات فیزیکی برویم، داریم شروع، نقطه انطلاق را اشتباه انتخاب می‌کنیم. و لذا با ثابت فیزیکی شروع نمی‌کنیم. ثابت فیزیکی بعداً.

ثابت های ریاضی؛ثابت های هندسی

ثابت‌های ریاضی هم چند دسته هستند:

۱.     ثابت‌هایی که برای حساب هستند

۲.     ثابت‌هایی که برای هندسه هستند.

 الآن می‌خواهیم از ثابت‌های ریاضی که صبغه هندسی دارند شروع کنیم. خود ثابت خیلی مقصود ما را به ذهن بشر، از صغیر و کبیر، نزدیک می‌کند.

ثابت‌های هندسی چه چیزهایی هستند؟ بسیار مختلفند. 

[1] ثابت فیزیکی، یک کمیت فیزیکی است که در تمام جهان ثابت است و در طول زمان تغییر نمی‌کند. این ثابت ممکن است با ثابت ریاضی دارای فرق باشد زیرا ثابت‌های ریاضی دارای همان ارزش عددی هستند اما مقیاس‌های فیزیکی در آنها بی‌معنی است. ثابت‌های فیزیکی بسیاری در دانش وجود دارد. از اصلی‌ترین این ثابت‌ها سرعت نور (c) در خلأ، ثابت گرانش (G)، ثابت پلانک (h)، ثابت بولتزمن (kB)، ثابت الکتریک (۰ (ε_۰بار الکترون (e) هستند. (سایت ویکی پدیا)

[2] ثابت ریاضی عددی خاص و معمولاً حقیقی است. ثابت‌ها در قسمت‌های مختلفی از ریاضیات مانند هندسه، نظریه اعداد، حساب دیفرانسیل و انتگرال و ... ظاهر می‌شوند. برخی ثابت‌ها مانند عدد پی یا e برای ویژگی‌های یکتا و زمینه تاریخیشان مورد توجه ریاضی‌دان‌ها قرار دارند. ثابت‌های شناخته شده‌تر برای سال‌ها مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و برای محاسبه مقدار آن‌ها تلاش‌های زیادی صورت گرفته‌است.(همان)

١.عدد پی

بی نهایت 

ما بی‌نهایت‌های بی در و پیکر خیلی داریم. انسان خودش را قانع می‌کند به بی نهایتِ لا یقفی[1]؛ تمام می‌شود. اما دو نوع بی‌نهایت‌ درست و حسابی، داریم: بی‌نهایت‌های متعیّن افزایشی، بی‌نهایت‌های متعیّن کاهشی؛ بی نهایت های بسیار بزرگ ، بی نهایت های بسیار کوچک[2] .

از زمان ارسطو، تمام بی نهایت ها؛چه بی نهایت بزرگ و چه بی نهایت کوچیک را با بی نهایت بالقوه، حلش می کردند. بی نهایت بزرگ را می گفتند: لایقف . بی نهایت کوچک را می گفتند: بالقوه . ما هم با این دوتا خیلی مانوس هستیم چون مبنای کتابهای ما هم معمولا ارسطویی است.

اما از حدود ۲۰۰ سال قبل تا حالا که ریاضیات عالی و آنالیز[3] کاملا پیشرفت کرده و مباحثش امروز برای بشر مثل خورشید شده امروز واضح است که در بی نهایت کوچک، بی نهایتِ بالفعلِ نفس الامری است.می توانم بگویم بی‌نهایتِ مجسّم. بی‌نهایتِ در مشت. می‌گوید بیا، بی‌نهایتِ بالفعل را در مشتت می‌گذارم، جلوی چشمت می‌آورم، بالاتر از این می‌خواهی؟

تحلیل اجزاء دایره

آن وقت این هم انواعی دارد. یک مثال روشنش، عدد پی( )[4] است. عدد پی، عددی هندسی است، یعنی شما اوّل سروکارتان با دایره می‌شود. دایره چیست؟ یک خطِّ بسته­ی منحنی. خط برای کجاست؟ برای هندسه است. کمّ متصل قارّ. بعد می‌گویید دایره یک مرکز دارد. مرکز، نقطه است. نقطه، عنصر هندسی است. قطر چیست؟ خط مستقیمی که از مرکز رد می‌شود و دایره را دو قسمتش می‌کند. این خطّ مستقیم، طول است؛ کم متصل قارّ است.

عدد پی:نسبت محیط دایره به قطر

می‌خواهیم ببینیم نسبت محیط دایره به قطر چقدر است؟ یعنی اگر محیط را باز کنیم، از گِردی در بیاوریم و یک خطِّ مستقیمش بکنیم، چند تا قطر بگذاریم سر می‌رسد؟ می گوییم سه تا قطر را که روی محیط بغلطانید دایره، می گردد، دفعه بعدش دیگر نه؛ کمی از آن فقط می‌ماند. این را می‌گوییم نسبت محیط به قطر، یعنی محیط، چند برابر قطر است؛ نسبت یعنی صورت، تقسیم بر مخرج. یعنی محیطِ گردِ دایره، تقسیم بر قطر، می شود عدد پی.فعلاً می گوییم ۳.۱۴.

هر دایره دلخواه –که دایره هندسی باشد- را روی هر محوری رسم کنید، به محض این‌که روی محور اعداد، این دایره را باز کنید، اگر قطر این دایره،١ باشد(«یکِ» رویِ محور) یک سر محیط دایره را روی عدد صفر می‌گذارید، آن سرِ محیط می‌شود عدد پی[5]. یک نقطه­ی معیّن روی محور؛سه و چهارده صدم و ...بروید تا بی‌نهایت. نقطه‌اش روی محور معلوم است.[6]

عدد پی، عددی است که روی نقطه معیّنی روی محور است، اما شما نمی‌توانید نشانش بدهید. چه کار می‌کنید؟ از پس و پیش، به آن نزدیک می‌شوید. یعنی از ۳.۱۴ که مثلاً با ۹۶ ضلعی ارشمیدس بوده[7]، از نقطه‌ ۳.۱۴ شروع می‌کنید، بعد از ۳.۱۴ روی محور، ۳.۱۵ است. می‌گویید نقطه پی که محیط دایره است، بین ۳.۱۴ و ۳.۱۵ هست. نه بیرون از ۳.۱۵ است، نه عقب‌تر از ۳.۱۴ است؛ بین این دو تاست. از طرفین(۳.۱۵ و ۳.۱۴ )به آن نزدیک‌تر می‌شوید وتا بی‌نهایت می‌روید. حدّش[8] هست. به تعبیر مسامحی می‌گوییم در بی‌نهایت به پی میل می‌کند.

 امروز دیگر اینها از واضحات است، یعنی اهل خبره دو نفرشان هم در این اختلاف ندارند، امروز برای بشر، این  که عدد پی عددی است گنگ[9]، متعالی[10]و رسم‌ناپذیر[11]، مبرهن شده است[12].

خوب دقت کنید.الآن عددهای بعد ۱۴ صدُم را؛ممیّزهای بعد ممیّز را، تا چندین تریلیون حساب کردند[13]. خلاصه آخرین عددی که فعلاً بشر می‌داند، می‌دانیم یک عددی معیّن بعدش هست؛ ما نمی‌دانیم، ولی معیّن است. ما باید برویم کشفش کنیم؛ نه فرضش کنیم؛ نه خلقش کنیم .نکته اصلی این است، این نقاطی که شما بعد از ممیّز می‌گذارید، نقطه‌ای معیّن روی محور است؛ نقطه­ی نامعین نیست. یعنی ۳.۱۴ که معین است، عدد بعدی ممیز که ۳.۱۴۱، روی محور معلوم است، ولو نزدیک‌تر به پی شده ولی خود پی نیست. عدد بعدی هم همین‌طور، تا بی‌نهایت می‌روید ولی به سر دایره نمی‌رسید، چون عدد گنگ است. ولی نقاطی که طی می‌کنید تا به آن نزدیک بشوید نقاط متعین است.

بی نهایت؛قابل ارائه به بچه دبستانی

 این است که می‌گویم زمینه‌اش فراهم است که  برای بشر نشان بدهیم. الآن شما یک دایره را باز کردید، کف دست بچه می‌گذارید. می‌گویید این سر «پی» که معلوم است، صفر هم معلوم است. وقتی می‌خواهی حساب کنی بروی برسی به سر دایره که پی است،  در رسیدن به نقطه­ی پی، بی‌نهایت نقطه­ی متعیّن است که هر چه حساب پی را جلوتر ببرید کشفش می‌کنید.دو طرف، بی‌نهایت. یعنی از دو طرف دارید به آن نقطه پی نزدیک می‌شوید تا بی‌نهایت هم در بی‌نهایت نزدیک می‌شوید، نقاطش هم متعین است، شما کشفش می‌کنید؛ ولی در عین حال هیچکدام از آنها «پی» نیست!این،یک مثالِ هندسیِ ساده است، هر بچه‌ای هم در دبستان خوانده است. می‌خواهیم چیزهایی را که همه بلد هستند فقط به او نشان بدهیم.

الان این مثال،مثل سنگ خاراست، فقط باید کار بشود و این مثال‌ها باز بشود،تصویری توضیح داده بشود، که همه بفهمند. وقتی اذهان مطلب را گرفتند، همین‌طور دست به دست می‌شود؛ به سرعت پخش می‌شود. 

[1] تناهى به دو معناست: يكى تناهى عددى، و ديگر تناهى لا يقفى. نامتناهى عددى آن است كه شىء بالفعل موجود و نامتناهى باشد، مثلا خط و سطح و جسم بالفعل موجود باشد و نهايت نداشته باشد. و نامتناهى لا يقفى آن است كه بالفعل موجود نباشد، بلكه به هر مرتبه كه رسد باز در آن چيزى بتوان فرض نمود.چنانچه حكما گويند كه جسم قابل قسمت است الى غير النهاية، كه هر اندازه جسم را تقسيم كنيم باز هم قابل قسمت است و به انتهاء نمى‌رسد. و اينكه حكما گويند نامتناهى وجود ندارد مقصود نامتناهى عددى است، ولى نامتناهى لايقفى جائز و واقع است، مثل اينكه جسم به نامتناهى تقسيم مى‌شود و اين قسمتها به جايى نمى‌رسند كه ديگر تقسيم نشوند. حكماى قديم يونان مى‌گفتند ابعاد نامتناهى است.(مجموعه رسائل عرفانی و فلسفی،ص ٢۶٩)

[2] بی‌نهایت کوچک‌ها، کمیت‌هایی هستند که بیش از هر عدد حقیقی استانداردی به صفر نزدیک اند ولی صفر نیستند. این اعداد در مجموعهٔ اعداد حقیقی معمول وجود ندارند ولی در سیستم‌های عدد دیگر مثل اعداد سورئال و اعداد ابرحقیقی وجود دارد.(سایت ویکی پدیا)

[3] آنالیز، آنالس به انگلیسی: (Analysis)، واکافت، واکاوی یا تجزیه و تحلیل شکستن یک مجموعه به بخش‌های کوچک برای فهم بهتر آن است. به عبارت دیگر، آنالیز، تجزیه و تحلیل داده‌ها برای گرفتن نتیجهٔ پیچیده‌تر نیز می‌تواند باشد.

در دانش شیمی، آنالیز به تجزیه نمونه و بررسی آن اطلاق می‌شود که در شاخه شیمی تجزیه دنبال می‌گردد. در دانش ریاضیات و آمار، آنالیز به بررسی احتمالات و ریزحالت‌ها می‌پردازد. (سایت ویکی پدیا)

[4] عدد پی (π) (به انگلیسی: Pi) از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴ است. این عدد را با علامت π نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسهٔ اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است .پی،حرف اول کلمهٔ یونانی «پریمتروس» (به معنی محیط) است.(همان)

[5]  

[6] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif

[7] ارشمیدس محیط دایره را نمی‌دانست؛ اما ناامید نشد و از آنچه می‌دانست یعنی محیط یک مربع آغاز کرد. البته او در واقع با یک شش‌ضلعی محاسبه خود را آغاز کرد؛ اما از آنجا که ترسیم و کار کردن با مربع آسان‌تر است، ما از مربع استفاده می‌کنیم.

ما محیط یک دایره را نمی‌دانیم؛ اما می‌توانیم آن را بین دو مربع[محیطی و محاطی] رسم کنیم:

دقت کنید که این وضعیت شبیه مسیر مسابقه‌ای با یال‌های داخلی و خارجی است. محیط دایره هر چه که باشد بین محیط دو مربع قرار دارد، یعنی بیشتر از محیط مربع داخلی و کمتر از محیط مربع بیرونی است.محیط مربع‌ها را می‌توانیم به سادگی محاسبه کنیم:ما نمی‌دانیم که پی چقدر است؛ اما می‌دانیم که عددی بین 2.8 و 4 است. اگر تصور کنیم دقیقاً نیمه این دو کرانه باشد، پس باید در حدود 3.4 باشد.

 مربع‌ها گوشه‌دار هستند. آن‌ها را نمی‌توان چندان شبیه دایره دانست و این اختلاف موجب محاسبات نادرست و با اشتباه زیاد می‌شود؛ اما با افزایش اضلاع، برای مثال با استفاده از هشت‌ضلعی می‌توانیم حدس بهتری از عدد پی داشته باشیم.

چنان که می‌بینید با افزایش تعداد اضلاع، به شکل یک دایره نزدیک‌تر می‌شویم. متأسفانه اعداد اعشاری در سال 250 قبل از میلاد هنوز اختراع نشده بودند، چه برسد به نرم‌افزارهای صفحه گسترده. بنابراین ارشمیدس مجبور بود که این فرمول‌ها را به کمک کسرها حل کند. او کار خود را با شش‌ضلعی آغاز کرد و با ١٢، 24، 48 و 96 ضلع ادامه داد. تخمین نهایی وی از عدد پی با استفاده از شکلی با 96 ضلع به صورت زیر بود:

نقطه میانی این بازه برابر با 3.14185 است که تقریباً 99.9% دقیق است!(سایت فرادرس،مقاله عدد پی چگونه کشف شد؟)

[8] حد (به انگلیسی:( Limit): وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می‌شود، و آن متغیر بی‌نهایت به عدد ثابتی نزدیک شود، به طوری که اختلاف آن‌ها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می‌گویند.(سایت ویکی پدیا)

[9] عدد غیر نسبی، گُنگ یا اصم به انگلیسی:( Irrational number) در دستگاه اعداد به‌صورت عددی حقیقی تعریف می‌شود که عدد نسبی (عدد گویا(نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند.(همان)

[10] اعداد گنگ دو نوع دارند: اعداد جبری (algebraic numbers) و اعداد متعالی (transcendental numbers)
هر عدد جبری به عنوان راه حل حداقل یک معادله چند جمله ای، نشان داده می شود. برای مثال، فرض کنید معادله زیر را دارید:

شما می توانید این معادله را به شکل زیر حل کنید:

بنابراین 2√ یک عدد جبری می باشد که مقدار تقریبی آن برابر با ...1.4142135623 است.

یک عدد متعالی (transcendental number)، در مقایسه با یک عدد جبری، هرگز راه حل یک معادله چند جمله ای نمی باشد(سایت خوش­آموز،مقاله ده مجموعه مهم اعداد که باید بشناسید)

[11] عدد a را «رسم پذیر» گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان، رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و … ... اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل 2√ . آیا این عدد رسم پذیر است؟ 

از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد.اگر محل تلاقی این دو خط را مبدأ،در نظر بگیریم به این محور، محور رسم پذیر می گوییم.

 در این محور:

۱(a,0)يا(0,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.

۲) (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند. 

هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم. حال می توانیم به راحتی بگوییم که  2√رسم پذیر است. چون اگر(۰.۱)و (۰و۱) را روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول  2√داریم. حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند. همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد.(دانشنامه رشد،رسم پذیر بودن یک عدد)

[12] در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد (e) )کشف گنگ بودن عدد پی، به سال‌ها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.(سایت ویکی پدیا)

[13] باوجود آنکه همه ریاضی‌دانان می‌دانند که عدد پی گنگ می‌باشد و هرگز نمی‌توان آن را به‌طور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی هموار برای آن‌ها از جذابیت زیادی برخوردار بوده‌است. بسیاری از آن‌ها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آن‌ها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند. امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیون‌ها رقم محاسبه شده‌است؛ و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمود. (همان) آخرین رقم اعشار محاسبه شده، به  عدد ۳۱ تریلیون رسیده است.

٢.علامت جمع(+)

چون مفهوم فاصله با معنا و بُعد هندسی یا فیزیکی جوش خورده است، مثال دیگری از کمّ متصل قارّ، می‌آوریم و  بعد به مطالب سابق برمی‌گردیم. یک چیزی که همه بلد هستیم، علامت جمع(+) است .کدام بچه ای است که  از دبستان، علامت جمع را یاد نگرفته باشد؟! علامت جمع چیست؟ دقیقاً می‌خواهیم متمرکز بشویم روی خود این نقش؛(+). شما معنای جمعی را که می‌خواهد بعداً برایش وضع کند کار نداشته باشید. قبل از وضع، هنوز کار نداریم جمع است یا نیست. صرفِ نقش را در نظر بگیرید.

 از حیثِ مقولی که بخواهید تصورش بکنید، از سنخِ دو تا خط است؛ دو تا خطّی که با همدیگر به صورت عمود می‌گذارید. به عنوان این‌که دو تا پاره‌خط کوچک را عمود بر هم می‌گذارید و می‌گویید علامت جمع است[1].

الآن می‌خواهم چند تا سؤال راجع به این علامت جمع مطرح کنم که همه با آن آشنا هستید. سؤال‌های ساده.

سؤالاتِ علامت جمع

الف)روز اوّل، واضع می‌گوید من این(+) را علامت قرار دادم، یعنی فقط این‌که در ذهن خودم است، علامت قرار دادم؟ یا آن که در ذهن شاگردش هم هست. مشار الیهِ «این» چیست؟ یعنی آن‌که الآن نوشتم، علامت است؟ماهیتِ بلا تعیّن؟ ماهیت، طول ندارد ؛این‌ علامت که طول دارد. ماهیت بُعد دارد یا ندارد؟ بُعدش چند متر است؟

می‌خواهم بگویم ما یک مثال منفصل داریم که در عین حالی که معقول نیست؛ معنا نیست، ولی نقشِ مثالی دارد؛طبیعیِ نقش.

ب)اگر شما در راه دارید می‌روید، تابلوی بسیار بزرگی را می‌بینید که یک علامت جمع در آن کشیده است؛ مثلاً ۵ متر، خطِّ عمودی‌ آن است، ۵ متر، هم خطّ افقی‌آن. این علامت جمع هست یا نیست؟ علامت جمع باید چند متر است؟ واقعاً مقدارش در ذهن شما چقدر است؟

ج)علامت جمع که می‌گوییم علامت جمع هست و همه بشر می‌دانند، این یک علامت است یا چند علامت ؟

این سؤال خیلی ساده است، اما ببینید کلیدِ چه حرف‌هایی است؟ یک علامت است.

تحلیل اجزاء تشکیل دهنده علامت جمع

د) وقتی در علامت جمع،می‌گوییم یک خط عمودی داریم و یک خط افقی قائم بر او داریم آیا خطّ افقی، یک مفهوم کلی است ؟ یا فرد خاصی از خط؛ یک خطِّ مشخص؟ خطِّ کلی است.

هـ) آیا کلّی تعدّد بردار هست یا نیست؟ ما دو تا کلّیِ انسان داریم یا نداریم؟ نداریم؛ صرف الشیء لا یتثنّی و لا یتکرّر. در علامت جمع، شما اگر کلّی خط را ‌دارید، دو تا کلی خط دارید یا یکی؟دوتاست؛یکی عمودی، یکی افقی. آیا ما دو تا کلّیِ خط داریم؟الآن خطِّ افقی، خودش دوباره یک کلی است؟بله .پس خط افقی شد یک کلی جدید.

ترکیب طبایع در علامت جمع

و)آیا از خط افقی، دو تا می‌توانید بردارید یا نه؟ من یک خط افقی فرض می‌گیرم، یک خط افقیِ دیگر، یک سانت آن طرف‌تر به عنوان یک نشانه استفاده می‌کنم. مثل مساوی( ).مساوی چطور است؟ یک خط افقی دارید، کمی زیرِ او یک خطِّ افقیِ دیگر. این دو تا خط، افقی هستند یا نیستند؟ آیا این دو خط،فرد هستند؟ خطِّ افقیِ در ذهن شما فردش است یا خطِّ افقیِ در ذهن من؟

علامت مساوی

علامت مساوی، دو تا خط است، هر دو تا هم افقی‌اند. پس خطّ افقی دو تا شد. چه چیزی به شما اجازه داد دو تا خطِّ افقی داشته باشید هر دو هم کلی؟ رمزش چیست؟

طبیعت «زید»؛تشکیل شده از طبیعت اجزاء

پدر و مادر اسم بچه‌شان را زید می‌گذارند. سؤال‌های ساده را تکرار کنیم. آن لفظ را، پدر و مادر کدام لفظِ زید را برای بچه‌شان می‌گذارند؟ زیدی که در ذهن مادر است؟ یا لفظ زیدی که در ذهن پدر است یا لفظ زیدی از دهن پدر؟ کدام؟ هیچ کدام. طبیعیِ لفظ زید را اسم بچه‌شان می‌گذارند. حالا این طبیعی را الآن کامل همه می‌فهمیم.

١. طبیعیِ لفظِ زید چیست؟ «ز، ی، د». آیا «ز» که در نام بچه اینها هست، طبیعی «ز» است یا یک فرد از «ز» است که در ذهن پدر است؟ جزئش هم طبیعی است. یعنی خودِ طبیعیِ زید متشکّل است از سه تا طبیعیِ قبلی. طبیعی «ز»، طبیعی «ی»، طبیعی «د».

٢.آیا طبیعیِ «ز»، یتثنّی یا لا یتثنّی؟ اگر لا یتثنّی، شما اگر به جای «زید»بگویید «زیز»؛ اسم بچه‌شان را بگذارند «زیز». شما مگر نگفتید طبیعی زید را در زید تشکیل دادید؟ الآن که دو تا طبیعی «ز» دارید.

بله در «زیز» درست است که طبیعیِ «ز»، یک طبیعی است، اما یک طبیعی دیگر هم اینجا داریم، در چشم ما، در حواسّ ما خودش را نشان نمی‌دهد ولی هست؛ آن طبیعیِ «رتبه­ی اوّل» است. شما وقتی می‌گویید فاء الفعلِ یک کلمه این «رتبه­ی اوّل قرار گرفتن»، یک شخص است، ، یا یک معنای کلی است؟ معنایی است کلّی که واقعاً تفاوت دارد با خود «ز». ترتیب اوّل، دوم، سوم؛ موضعِ یک حرف؛مثلاً طبیعی لام الفعل بودن. ما «ز» که یک طبیعی بود، با یک طبیعی دیگر داریم هم آغوشش می‌کنیم، می‌گوییم آن«ز که فاء الفعل است». «زیـز» یعنی طبیعیِ «ز که لام الفعل است».

 الآن چرا برای ما اینجا مبهم بود ؟ چون فاء الفعل، نقش و شکل ندارد. وقتی نقش ندارد، خودش را اوّل نشان نمی‌دهد، اما به محض این‌که هیئت را نشان دادید، موضع اوّل و دوم را به طرف گفتید می‌گویید بله چرا من از آن درک دارم، درکِ واضح کالشمس، ولو نمی‌توانم شکلش را نشان بدهم.

حالا در خود «ز»، «زیز» آیا می‌توانیم نحوه­ی اداءِ «ز» را، جزء مسمّی قرار بدهیم؟ بله می‌شود. شما بگویید ما اسم این بچه را می‌گذاریم «زیز»[2] که «ز» اوّل را بکشیم، اسم آن بچه را می‌گذاریم «زیز»[3]، «ز» را نکشیم.  الآن اینجا طبیعی هست یا نیست؟ باز طبیعی است؟ چه چیزی را با چه چیزی ترکیب کردید؟ خود این صفتِ «نحوه­ی اداء»، کلی است، دارید با هم دیگر ترکیب می کنید.

ترکیب دو معنا در علامت مساوی

ببینید همه قبول می‌کنید که الآن ذهن ما با ترکیب دو معنا، دو تا کلّی درست می‌کند. آن کلّی‌ها چیست؟ یک کلّیِ خطِّ فوقانی، یک کلّیِ خطِّ تحتانی؛ انضمامِ مفهومِ «تحت»، با مفهومِ خط، کلّی درست می‌کند . افقی هم ضمیمه‌اش است. یعنی حتماً باید دو تا خطِّ افقی باشند؛ اگر عمودی بکشید، علامت تساوی نیست. این خطِّ افقی، یک معنایی ضمیمه­ی این طبیعیِ خط است که  از آن غفلت می‌کنیم. ولی در ذهن ما موجود است.

وقتی سؤال می‌کنیم، نشان می‌دهیم که علامت تساوی، چند معناست، یکی طبیعیِ خط است، یکی طبیعیِ افقی است، وضعِ افقی است، یکی طبیعیِ فوقانی است نسبت به یک چیز دیگر. این مفاهیم با هم دست به دست هم می‌دهند مثل این‌که طبیعی زید با طبیعیِ موضع دست به دست هم می‌دهند، زید را به عنوان یک طبیعی ثالث پدید می‌آورد.

علامت جمع؛علامت ضرب

برگردیم به علامت جمع.

ز)اگر این علامت را کمی در ذهنتان بگردانید،مثلاً ۴۵ درجه بگردانید، علامت جمع هست یا نیست؟ماهیتش عوض شد؟ یعنی به صرف این‌که ۴۵ درجه می‌گردانید نوع عوض شد؟بله؛میزانش عوض می‌شود، چون ضربدر(×) می‌شود. اصلاً علامت دیگری است. به عبارت دیگر اگر بخواهیم با اصطلاحات زبان­شناسی کار بکنیم، علامت جمع با علامت ضرب که وضعش ۴۵ درجه تغییر می‌کند، دو واج[4] است. در زبان­شناسی؛ در فنِّ نشانه‌شناسی[5] دو واج است. شما اگر ده درجه بگردانیدش می‌گویید بد نوشتی؛همان علامت جمع است. زاویه ده درجه، اما شما بین علامت جمع با علامت ضرب الآن اینجا دو واج دارید. یعنی دو تا وضع است.

خصوصیات نفسیِ طبایع؛خصوصیات مختص به ناظر

ح)حالا اگر این علامت جمع را به جای این‌که ۴۵ درجه بگردانید، شما خودتان بروید و به صورت کَج نگاهش کنید؛ یعنی موقعیت قرار گرفتنتان را نسبت به علامت تغییر بدهید، آیا تغییر می کند؟ علامت که عوض نشد.

پس یک علامت جمع در کیفیت او ناظر هم، بلا ریبٍ دخیل است.به عبارت دیگر شما وقتی علامت جمع را معنا می‌کنید، می‌گویید تشکیل شده از یک خطّ افقی، از یک خطّ عمودی. افقی و عمودی، برای شماست؛ الان برای شخصِ دیگر، افقی و عمودیِ شما،افقی و عمودی نیست. در تعریفِ نقشِ علامت جمع، افقی و عمودی دخالت کرده، که بند به ناظر است. می‌گویید افقی، عمودی. وقتی بند به ناظر است، حالا شما چطور می‌خواهید چیزی را که بند به ناظر است طبیعی‌کنید؟

یک مثال ساده عرض بکنم ؛یک نجّار می‌آید دو تا چوب برمی‌دارد، مثل علامت جمع، بر همدیگر در نصف عمود می‌کند. یک وقتی هست می‌گوید می‌خواهم صلیب درست کنم. تا شما نگاه می‌کنید می‌گویید این صلیب است؛ این علامت جمع نیست، در نصف تقاطع نکردند. اما این نجّار، علامت جمع درست می‌کند. دو تا پاره تخته را به صورت عمودِ بر هم در نصف، درست می‌کند.

سؤال ساده‌ای است، این چیزی که نجّار به دست شما می‌دهد، این علامت جمع است یا علامت ضرب است؟هیچ­ کدام؛ الآن ضرب و جمع و اینها خواسته‌های ماست، وضع ما است. اگر انسان نبود؛ وضعِ او، علامتی را برای جمع و ضرب نبود، آیا این تخته -ولو فرض بگیریم که همین طوری درست بشود، با طوفان درست بشود- ریختش تفاوتی می‌کرد؟ نه.

یعنی این علامتِ چوبی، یک وضعیّت ریاضی، یک امور ثابتی دارد که ربطی به ذهن ما ندارد. یعنی ما در این علامات، یک عناصرِ هندسیِ ثابت داریم که عنصرِ ریاضیِ منفصل از ذهن ما هستند. ولی یک عناصری داریم که مربوط می‌شود به عالم متّصل وذهن ما.لذا این‌که نجار درست کرده، یک علامتی است که برای فضای ریاضی ما دو منظوره است. بدهید به دست یک معلم، اگر به صورت افقی -عمودی روی تخته بچسباند، می‌گوید این ۵ به اضافه ....، همین چوبِ نجار را به صورت مورّب بچسباند، می‌گوید این ۵ ضرب در.... است. حال آن‌که چوب یکی است. و لذا این چیزی که نجار درست کرده، نمی‌شود بگویند افقی است یا عمودی است، یا مورب است، باید ببینید شما چطور قرارش می‌دهید؟

افقی و عمودی:وابسته به ناظر؛وابسته به بستر

البته  ما دو تا افقی و عمودی داریم. یک افقی و عمودی برای شخص ناظر، یک افقی و عمودی برای آن صفحه مختصات[6]. صفحه مختصات، محور x دارد و فرض می‌گیریم xاش افقی است، هر کس هر کجا می‌خواهد باشد. وقتی شما می‌گویید محور x را افقی می‌گیریم، شما هر کجای محور x قرار بگیرید، محور x بیرون شماست. این هم یک نحو افقی و عمودی است در بستر.

اصلاً در سطوح، سه نوع سطح کلی داریم:

۱.         سطح صفر که صفحه است و هندسه اقلیدسی[7] است.

۲.        سطح مثبت که کرویند و انحناء تحدّبی دارند. که هندسه‌های بیضوی[8]‌اند

۳.         سطوح منفی که مثل زین اسب است. زین اسب مثالی است که برای هندسه‌های هذلولوی مثال می‌زنند.

این سطوح باز، متّصل نیست. این هندسه، منفصل است؛ یک دستگاهِ مستقلِّ اصلِ موضوعی[9] دارد در صفحه، در سطح مثبت، در سطح منفی. این سطح برای خودش افقی و عمودی مفروض می‌تواند داشته باشد، نه افقی و عمودی ناظر. وقتی ما می‌گوییم افقی و عمودی، یعنی من دارم نگاه می‌کنم، برای من افقی است، برای من عمودی است. این افقی بسته‌ای به ناظر است. اما افقی و عمودی به اصل موضوعی، می‌گویم محور x، این خط افقی باشد، هر کجا بایستد.

مقوّمات علامت جمع

می‌خواهیم در علامت جمع  آن مفاهیمی را که به ما وابسته است، با آنهایی که نفسیت دارد در نفسِ نقش(شکل)، از همدیگر جدا کنیم. می‌خواهم عرض کنم، خود نقش جمع، یک مفاهیم طبیعی محوری دارد که اینها را می‌بینید هر کجا ببرید،ربطی به ناظر ندارد: تقاطع، تساوی، محلّ تقاطع، زاویه­ی تقاطع. افقی را کنار بگذارید. افقی برای ناظر است، اصلاً ربطی به علامت ندارد. آن که مقوّمِ معنایِ نفسِ نقش است، این هاست:

۱.     تساوی دو تا خط؛یکی کوچک، یکی بزرگ علامت جمع نیست. البته تساوی مسامحی.

۲.   تقاطع؛ کنار همدیگر قرار بدهیم، علامت مساوی( )، علامت جمع نیست.

۳.    تقاطع در نصف؛ نصف را هم باید در کار بیاوریم، نه مطلق تقاطع.

۴.    زاویه­ی تقاطع.

شما اگر خودتان در خارج، زاویه ۹۰ درجه‌­ی این دو تا خط را بکنید ۳۰ درجه، آیا ربطی دارد به دید افراد یا ندارد؟ آیا زاویه، فقط وابسته به دید من است؟ وقتی شما می‌گویید زاویه، تساوی، تقاطع، دارید با یک طبیعیِ منفصل از خودتان کار می‌کنید. یعنی دارید کارِ ریاضی می‌کنید؛ ریاضیِ منفصل. اما وقتی می‌گویید افقی، عمودی، کارِ ریاضیِ محض نمی‌کنید. با آن امرِ مجرّدِ منفصلِ محض کار ندارید.

چند تا ثابت هندسی دیگر مثال بزنم.

[1] نخستین باری که علامت جمع به شکل امروزی ظاهر شده است، به اواسط قرن ۱۴ میلادی برمی‌گردد که ریاضی‌دانی فرانسوی به نام «Nicole Oresme» آن را به‌کار برده است. او در کتاب «Algorismus Proportionum» این علامت را به‌ عنوان کوتاه‌شده‌ی «et» به کار می‌برد که کلمه‌ای لاتین به معنای «and» است و در واقع بیان‌گر همان مفهوم جمع بوده‌است.(سایت فنولوژی،مقاله نمادهای ریاضی از گذشته تا امروز)

[2] «ز» اول در «زیز» را با کشش گفتن

[3] گفتن «ز» بدون کشش

[4] واج در زبان‌شناسی کوچک‌ترین بخش گفتار است و جایگزینی آن با واجی دیگر تفاوت معنایی ایجاد می‌کند. واج کوچک‌ترین یکای(واحد) آوایی مستقلی است که به کمک آن تکواژ ساخته می‌شود (یک یا چند تکواژ یک واژه را می‌سازند). مثلاً واژهٔ «ما» از دو واجِ /م/ (/m/) و /ا/ (/ɒ/) تشکیل شده‌است بخش عمدهٔ واج، جداسازی واحدهایِ گفتاری از یکدیگر و ایجادِ تمایز بین معانیِ واحدهایِ گفتاری است و می‌توان گفت از ترکیب واج‌ها و به‌عبارتِ دیگر، «از ترکیب واحدها و قالب‌هایِ صوتی با واحدها و قالب‌هایِ معنائی، سامانه ارتباط یعنی زبان به‌وجود می‌آید.(سایت ویکی پدیا)در این جا مقصود این است که جایگزینی علامت جمع با علامت ضرب، تفاوت معنایی ایجاد می کند.

[5] نشانه‌شناسی در انگلیسی: semiology، همچنین semiotics یا semeiotics، از واژهٔ یونانی σημείον (سِمِئیون) به معنی نشانه) مطالعه نشانه‌ها و نمادها است. نشانه‌شناسی علمی است که به بررسی انواع نشانه‌ها، عوامل حاضر در فرایند تولید و مبادله و تعبیر آنها، و نیز قواعد حاکم بر نشانه‌ها می‌پردازد. نشانه چیزیست که به غیر از خود دلالت دارد.(همان)

[6] دستگاه مختصات به انگلیسی: (Coordinate System) به دستگاهی برای تناظر یک به‌یک مجموعه‌ای از n کمیت عددی یا اسکالر با فضای n بعدی اطلاق می‌شود(سایت ویکی پدیا)

[7] هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایی گفته می‌شود که به بررسی مفاهیم ریاضی مثل نقطه و خط می‌پردازد، و بر اصولی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این گزاره‌های هندسی عمدتاً توسط یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه به لحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند.(همان)

[8] هندسه‌های نااقلیدسی از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره ۱ در نظر بگیرد.

در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ P تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسهٔ دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربولیک به معنی «مبالغه‌کردن») که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی که در آن فاصله رفته‌رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها همدیگر را می‌بُرند.در شکل زیر،خط موازی مطابق هندسه اقلیدسی در وسط،هندسه بیضوی در سمت راست و هندسه­ی هذلولوی در سمت چپ قابل مشاهده است.

(سایت ویکی پدیا)

[9] اصل موضوع، بُنداشت، بُن قانون یا آکسیوم به فرانسوی: Axiomeدر فلسفه، ریاضیات، منطق و فیزیک، گزاره‌ای است که بدونِ اثبات و به شکل پیش‌فرض پذیرفته می‌شود و از رویِ آن سایر گزاره‌ها استخراج می‌شوند. اصل یا بدیهیات آنچنان‌که در فلسفهٔ کلاسیک تعریف شده‌است، گزاره‌ای است (در ریاضیات اغلب به صورت نمادین ارائه می‌شود) که پرواضح یا بدیهی است و بدون اینکه بحث یا سؤالی در مورد آن مطرح باشد، مورد پذیرش است. بنابراین، اصل می‌تواند به عنوان مبنایی برای استدلال یا ادعا مورد استفاده قرار گیرد؛ آنچنان‌که در منطق یا ریاضیات مرسوم است. این واژه از واژهٔ یونانی (axíōma (ἀξίωμα گرفته شده‌است که مفهوم کاملاً درست، مناسب، واضح یا بدیهی را منتقل می‌کند.(سایت ویکی پدیا)

روش اصل موضوعی روشی است که بعد از سال ها به این جا رسیده اند و خود می گویند ما از علوم بیش از این انتظار نداریم.حالت یاسی از واقع در فضای آن ها گویا حاکم است. در بند صدق این اصول موضوعه هم نیستند.همین که به تناقض نرسد برایشان کافی است حتی اگر نرسند به نتایج کاربردی خارجی.مثل ریاضیات محض.

٣.نقطه طلایی

هر خطی شما در نظر بگیرید، به هر اندازه‌ای به هر شکلی، یک نقطه طلایی[1] دارد؛ ما باشیم یا نباشیم؛ بلا استثناء. این هم یکی از ثابت‌های زیبای هندسی است[2]. اقلیدس، از ۱۰۰۰ سال پیشتر ثابت کرده است[3]. الآن هم بشر خیلی کارها روی این انجام می‌دهند[4]. ما اگر قوس بزنیم و رسم کنیم کشفش می‌کنیم[5].

یک نقطه­ی ثابت است. به محض این‌که مقدارش را عوض کنیم ،جایش عوض می‌شود. خط ده سانتی، یک نقطه­ی طلایی دارد مختصّ خودش.آن را ۹ سانت و نیم بکنید ، نقطه طلایی‌اش عوض می‌شود. و برایش هم ثابت است. دائماً نقطه­ی طلایی، خط را به دو بخش تقسیم می‌کند، بخش بزرگ و کوچک. قسمت اکبر، قسمت اصغر. در حساب هم اگر بیایید می گویند نسبت طلایی.[6]

وجه طلایی بودن نقطه­ی طلایی

طلایی بودن این نقطه برای این است که مربّعِ بخش بزرگ‌تر، مساحتش مساوی است با مستطیلی که کلّ این خط در آن قسمت کوچک‌تر تشکیل می دهد. یعنی مستطیل درست کنید، طولش کلّ خط است، عرضش آن قسمت کوچک‌تر است. مربّعِ بخشِ بزرگ‌تر، مساوی است با مستطیلی که طولش کلِّ خط است؛ عرضش آن قسمت کوچک‌تر است. این نقطه دارد خط ما را تقسیم می‌کند. قسمت کوچک‌تر می‌شود عرض مستطیلی که طولش کلِّ خط است. قسمت بزرگ‌تر، یک مربع؛ خودش ضرب در خودش. این نقطه را می‌گویند نقطه طلایی.

انواع ابهام

ابهام دو نوع داریم: یکی ابهام واقعی در متن آن شیء منفصل، یکی  ابهام به معنای غضّ نظر ذهن متّصل.وقتی شما می‌گویید نسبت محیط دایره به قطر، این محیط طول دارد یا ندارد؟ می‌گویید دارد. چقدر است؟ می‌گویید مبهم است. مبهم است یعنی ما غضّ نظر می‌کنیم؟ یا نه واقعاً این طولی که نسبتش را با قطر می‌سنجیم مبهم است؟

اگر بگوییم که یک عالم مثال منفصلی داریم که از حیث تجرد ، تضاد در آن مانعی ندارد. یعنی می‌تواند در عین حالی که درجه‌ای از تشکّل و آثار ماده را دارد، درجه‌ای از مضیقه‌های عالم ناسوتی را نداشته باشد. بُعد داشته باشد؛ اما بُعد نامعین-مجرّد چه طور است؟ یک سعه‌ای دارد از حیث بُعد- در این صورت می‌گوییم یک موجود منفصلی داریم مثالی، بُعد دارد، اما بُعدی که از یک درجه‌ای از تجرد برخوردار است که محتاج به تشخص بُعد نیست. اگر این را بپذیریم. اما ما فعلاً نیازی نداریم.

ما معانی داریم که آن معانی پشتوانه این اشکال و این چیزهای هندسی است.، بنابراین وقتی می‌گوییم دایره‌ای که کذاست، این را دارد با یک قضیه شرطیه درستش می‌کند؛ معانی را می‌ریزد در یک قضیه شرطیه، آن را بیان می‌کند. می‌گوید معنای محیط طول ندارد، معنای طول هم طول ندارد. اما عقل این معنا را که یک معنای عقلانی است، به صورت قضیه شرطیه در ظرف وجود، می‌گوید که اگر این معنای طول که خودش طول ندارد در ظرف وجود بیاید؛ در ظرفِ قوه­ی خیال بیاید، آن وقت طول دارد. در این قضیه شرطیه، ما نیازی به طول نداریم. چرا؟ چون قضیه شرطیه این است که اگر طول محیط در ظرف وجود بیاید، نسبتی دارد با طولِ قطر.پس ما به یک موجود منفصل مثالی در این تحلیل نیاز نداریم؛ بلکه به یک معقول منفصل، نیاز داریم. معقولِ منفصلِ ما این است که همه­ی این معانی با این قضیه­ی شرطیه (که اگر در ظرف تجرد برزخی مثالی موجود شود، یا اگر در ظرف وجود فیزیکی موجود شود) آنجا که موجود شد مقدار خاصّ خودش را دارد. در اینجا مقدارِ مبهم معنا ندارد. ولی مبهم در قضیه  یعنی چه؟ یعنی غضّ نظر. قابل انطباق است بر همه افراد خیالیه یا خارجیه.

[1] بر اساس تناسبات طلایی،یک پاره خط را می توان طوری به دو قسمت تقسیم کرد که نسبت قسمت کوچک تر به قست برزگ تر مساوی با نسبت قسمت بزرگ تر با کل پاره خط باشد.این نوع تقسیم از نظر بصری و همین طور از نظر منطقی،نسبت های زیبایی را میان اجزا با یکدیگر و با کل پدید می آورد که هم در معماری و هم در هنرهای بصری از آن استفاده­­­ بسیار شده است.₍مبانی هنرهای تجسمی،ص ۶٢)

(سایت ویکی پدیا)

[2] کپلر (Johannes Kepler ۱۵۷۱-۱۶۳۰) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه‌ای که در یکی از کتاب‌های خود این‌گونه نوشت: «هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می‌باشد که یکی از آن‌ها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می‌باشد. اولین گنج را می‌توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد»(همان)

[3] اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آن‌ها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. مصریان، نیز سال‌ها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند.(همان)

[4] معمولا در ساخت ال سی دی‌ها، مانیتور‌ها، طراحی خودرو و در جاهایی که با اشکال هندسی در ارتباط هستند در حد امکان از نسبت طلایی استفاده می‌شود. برای نمونه در پرستشگاه باستانی «پارتنون» (Parthenon) در یونان از نسبت طلایی استفاده شده است.(سایت فرادرس،مقاله نسبت طلایی به زبان ساده)

[5] جهت رسم مستطیل طلایی در ابتدا مربعی با اضلاع واحد رسم کنید. سپس مطابق با شکل زیر وسط یکی از اضلاع آن را با استفاده از یک نقطه مشخص کنید و از آن خطی به سمت گوشه سمت راست بکشید. نهایتا با دوران خط مفروض به روی ضلع مربع اولیه، به گوشه مستطیل می‌رسیم. با رسم مستطیل حاصل از دو نقطه سمت چپ (گوشه‌های مربع اولیه) و نقطه بدست آمده، مستطیل طلایی بدست می‌آید.( سایت فرادرس،مقاله نسبت طلایی به زبان ساده)

[6] نسبت طلایی یا عدد فی (ϕ) به انگلیسی:( Golden ratio) در ریاضیات و هنر هنگامی رخ می‌دهد که نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر باشد.تعریف دیگر آن این است که «عددی (ثابت) مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم، به مربع آن خواهیم رسید (سایت ویکی پدیا)

۴.شکل عروس

شکل عروس؛ همان قاعده فیثاغورث[1]: تساویِ مجموعِ مساحتِ دو ضلع، با مربّع وتر. امروزه می‌گویند قاعده فیثاغورث، قدیمی‌ها می‌گفتند: شکل العروس[2]، در کتاب‌های فقهیِ علامه و دیگران ببینید،می گویند: بشکل العروس[3].

[1] قضیه­ی فیثاغورس در هندسه اقلیدسی است که بر اساس آن، در یک مثلث راست‌گوشه (قائم‌الزاویه)، همواره مجموع مربع‌های دو ضلع برابر با مربع وتر است. این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است. قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب قضیه فیثاغورس حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است.

[2] شكل العروس:

[في الانكليزية] Right triangle

[في الفرنسية] Triangle droit

عندهم هو: أنّ كلّ مثلث قائم الزاوية، فإنّ مربع وتر زاويته القائمة يساوي مربعي ضلعيها و إنّما سمّي به لحسنه و جماله.(کشاف اصطلاحات الفنون و العلوم،ج١،ص ١٠۴١)

[3] فيكون مربّعه مساويا لمجموع مربّعي صاحبتها بشكل العروس(تذكرة الفقهاء (ط - الحديثة)، ج‌10، ص: 230‌)؛(همان،ص ٢٣٢)هم چنین شیخ بهایی در (الحبل المتین فی احکام الدین،ص ١١٣و١١۴)برای مراجعه تفصیلی به موارد ذکر شده به پیوست شماره ۵ مراجعه فرمایید.

۵.نسبت های مثلثاتی

یکی دیگر که از ثابت‌های مهم هندسی است و خیلی زیباست، نسبت‌های مثلثاتی[1] است؛ سه تا نسبت[2] است : سینوس، سکانت[3]، تانژانت، اینها سه تا هستند و مکمّل دارند. کسینوس و کتانژانت[4] و کسکانت[5]، مکمّلند[6].  نسبت‌های مثلثاتی، یکی از ثابت‌های هندسی است که ربطی به ذهن ما ندارد. بشر آنها را نیافریده،بلکه آنها را با زحماتی محاسبه می‌کند، کشف می‌کند و به کشفش افتخار می‌کند. نه این‌که بخواهد یک چیزی خلق کند، فرض بگیرد.

[1] مثلثات یا سه‌بَرسنجی به انگلیسی: (Trigonometry) یکی از شاخه‌های ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بوده‌است. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارد. ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل کرد. در ریاضیات، منظور از توابع مثلثاتی شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت است که این توابع رابطهٔ میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند. قدمت اولین متن‌های به جا مانده از توابع مثلثاتی به دوران پیش از میلاد در مصر و یونان بازمی‌گردد. قضیهٔ تالس توسط تالس در سدهٔ ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از قضیهٔ فیثاغورس به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود (سایت ویکی پدیا)

[2] مفاهیم سینوس، کسینوس و تانژانت برابر با نسبت اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه تعریف می‌شوند. در زیر مثلثی قا‌ئم‌الزاویه و توابع مثلثاتی مربوط به آن تعریف شده‌اند.

سینوس، کسینوس و تانژانت به‌ترتیب با نماد‌های cos ،sin و tan نمایش داده می‌شوند. توجه داشته باشید که برای یک زاویه‌ θ ثابت، این مقادیر ثابت هستند؛ دلیل این امر، افزایش همزمان صورت و مخرج آن‌ها است.(سایت فرادرس،مقاله سینوس،کسینوس و تانژانت یک زاویه به زبان ساده)

[3] سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس) (ویکی پدیا)

[4] کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت)(همان)

[5] کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس)(همان)

[6] واژه کسینوس در زبان انگلیسی ترکیبی از coو sine می باشد. این عبارت مخفّفِ   complementi sinus در زبان لاتین می باشد که به معنای متمّم سینوس است.(سایت wiktionary)

۶.نقطه نصف

هر خطّی، یک نقطه‌ای وسط اوست،

وقتی ما انسان‌ها هستیم وبه  این خط فکر می‌کنیم، این نقطه، وسط اوست؟ یا نه؛ اگر هیچ انسانی هم نبود، هر خطّی واقعاً یک نقطه‌ای وسط او بود.یک خطّی که ۱۰ سانت است، آن سرِ نقطه ۵ سانت، این نقطه را ذهن ما ایجاد می‌کند؟‌ فرض می‌گیرد؟ یا ذهن ما هم نبود، خط ۱۰ سانتی، نقطه ۵ سانتی‌اش معین هست؟نقطه­ی نصف،نقطه­ی ثابت هندسی است، بند به ذهن ما نیست.

نقطه طلایی، دقیق بود؛ امّا نقطه­ی نصف، پیدا کردنش ساده است. اقلیدس، همان روزهای اوّل در اصول اقلیدس، به شما یاد می‌دهد که نقطه­ی نصفِ هر خط را با رسم هندسی، پیدایش کنید نه این‌که فرضش بگیرید[1]. نقطه­ی نصف، یک ثابت هندسی است.

شما منصِّف یک خط را چه­طور رسم می‌کنید؟ می‌گویید پایه پرگار را روی سرِ این خط بگذار، به اندازه­ی شعاعِ خودِ خط، مثلاً خط ۱۰ سانتی، یک دایره رسم کن. دوباره پایه­ی پرگار را بگذار آن سر خط، ، به اندازه­ی ۱۰ سانت یک دایره بزن. وقتی آنجا دو تا دایره همدیگر را قطع کردند، از نقطه­ی تقاطعِ دایره، خطِّ مستقیم بکش و بیاور روی خط[2]؛ آن می‌شود عمودِ منصِّف[3]. من به گمانم هر کسی به این مطلب فکر کند، وجداناً هیچ تردید نمی‌کند که در یک خطِّ ۱۰ سانتی، آن نقطه‌ای که نصف دو تا خط است که این طرفش ۵ سانت است،نقطه ای ثابت است. یعنی یک نقطه‌ای است که ما درکش می‌کنیم، کشفش می‌کنیم؛ نه نقطه‌ای است که ما ایجادش کنیم، فرض بگیریم.

نقطه‌­ی نصفِ نصف...

سؤال را جلو ببریم اما به صورت خیلی واضح. حالا این نصفِ خط را در نظر بگیرید؛ نقطه­ی نصفِ این نصف، ثابت است یا ما آن را فرض می‌گیریم؟ آن هم ثابت است. بنابراین همان طور که نجّار آمد اوّل خط مساوی را با تقاطع در نصف در نظر گرفت و یک علامت درست کرد. حالا اگر بیاید نصفِ یکی را با نصفِ نصفِ دیگری ملاحظه کند، چوب را بالاتر ببرد، علامت صلیب درست کند. الآن نقطه­ی نصفِ نصف، که ثابت است، نصف آن خط هم که ثابت است؛ این نجار دارد یک شکلی را خلق می‌کند از مابین اشکال؟ دارد می‌آفریند؟ یا  از بین یک سری اشکالِ هندسیِ ثابت، انتخاب می‌کند؟

ما اگر یک نرم‌افزاری درست کنیم که نقاطِ این خط را قشنگ درجه‌بندی کند. بعداً هم طبق این درجه‌بندیِ شما، به شما شکل بدهد؛ می‌گوید یک شکلی که نقطه­ی نصفِ خطِّ افقی، با نقطه­ی نصفِ نصفِ بالایی خطِّ عمودی تقاطع کرده است، می‌شود صلیب.

حالا دوباره همان نصفِ نصف را در نظر بگیرید، دوباره نقطه­ی نصفِ او ثابت است یا شما فرض می‌گیرید؟ نقطه نصفِ نصفِ نصف؛ نقطه ثابت است. شما می‌توانید بالاتر ببرید. یعنی خطّ افقی را عمود بگیرید بر نقطه­ی نصفِ نصفِ نصف.

نقطه­‌ی نصفِ نصفِ نصفِ نصف.... شما چه زمانی  به بالای آن خط می‌رسید؟ انتهایش؟ هیچ وقت. تا بی‌نهایت می‌روید، ولی  هیچ وقت به آن حد نمی‌رسید. این نقاط، ثابت است، یا ما آنها را درست می‌کنیم؟ ثابت است. ببینید شما الآن با بی‌نهایت نقطه­ی ثابت -که ما هم نبودیم هستند- سروکار پیدا کردید؛ به راحتی، با این سؤالات. این را می‌گوییم آنالیز، آنالیزِ بی‌نهایت؛ نه بی‌نهایت‌های افزایشی. این بی‌نهایتِ کاهشی، بی‌نهایتِ آنالیزی است.

 به روشنی با این سؤالات ساده، حتی برای دبستانی ها روشن می کند که اگر ما هم نبودیم، این بی‌نهایت نقاطِ نصفِ نصف هست. هست یعنی چه؟ یعنی ثبوتی دارد نفس الامری که ذهن ما کشفش می‌کند. ذهن ما  با رسم، به آن می‌رسد؛ نه این‌که فرضش بگیرد. لازمه این چیست؟ لازمه، این است که اصلاً ما وقتی فکر می‌کنیم خلقِ یک شکل نمی‌کنیم؛بلکه از مفاهیمِ مختلف قرض می‌گیریم؛ با این مفاهیم، در بستر یک هندسه داریم انتخاب می‌کنیم.

[1] (10-1) ى: نريد أن ننصّف خطا محدودا كخط  ( أ ب ) فلنعمل عليه مثلث  ( أ ج ب )  المتساوى الأضلاع و ننصّف زاوية  ( ج )  بخطّ  ( ج د )  فينصّف الخط به و ذلك لأنّ فى مثلثى  ( أ ج د ، ب ج د )  ضلعى  ( أ ج ، ج د )  و زاوية  ( أ ج د )  متساوية لضلعى  ( ب ج ، ج د )  و زاوية  ( ب ج د )  فإذن قاعدتا  ( أ د ، د ب )  متساويتان و ذلك ما أردناه.(تحریر اصول اقلیدس،المقاله الاولی،الشکل العاشر)

[2] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Perpendicular_Bisector.gif 

[3] عمودمنصّف، خطی است که بر آن پاره خط عمود می‌شود و آن را به دو نیمهٔ مساوی تقسیم می‌کند.(ویکی پدیا)

بازگشت به عدد پی

آیا وقتی شما می‌گویید یک دایره محیطش با قطرش، نسبتی دارد، واقعاً این شکل(شکل دایره که یک خط است، این نقطه مرکزش است) چه کسی است که آن را به وضوح درک نکند؟ شکل، همه می‌فهمیم چیست. درک روشنی از آن داریم.

 سؤال این است:

طبیعت دایره؛فرد دایره

الف)وقتی می‌گوییم نسبتِ دایره به قطر، منظور ما از این دایره، کدام دایره است؟ دایره‌ای است که فقط در ذهن شماست یا در ذهن من است؟ دایره‌ای که در دفترِ شما کشیدند یا دایره‌ای که در دفترِ من کشیدند؟ کدام دایره؟ همه­ی این ها روی هم؟

یعنی اگر هر چه دایره­­ی کشیده هست یا ذهن‌های همه بشر یک دفعه محو بشوند، نسبت محیط دایره به قطرش، تمام می‌شود؟این‌که محیط دایره سه برابر قطرش است، این نسبت دیگر نیست؟ محو می‌شود؟ یا نه، ذهن ما، عقل ما این نسبت را درک می‌کند.

اگر هیچ انسانی نباشد، ولی یک شیئ تیزی بیاید، یک سنگی که به صورت گردی هست این را ببرد، مقطع این سنگِ گردِ توپ­مانند، دایره نیست؟ دایره­ی مادّی. و اتصاف او به این گِرد بودن به ذهن ما ربطی دارد؟وقتی شما یک توپ را نصف می‌کنید، نصف شدن توپ، بند به ذهن شما نیست. و حدوث مقطع یک توپ به عنوان سطحِ دایره، باز به ذهن شما مربوط نیست. یعنی شما ، دایره‌ای می‌توانید پیدا کنید در بطن ماده.

الان من چیزی را درک می‌کنم گرد است یا من به آن می‌گویم گرد است؟ اگر گفتن است ،بگویید مربع است؛ یک اقوامی بگویند این چهارگوش است، یک اقوامی بگویند گرد است.

تفکیک بین مفاهیم هندسی و مصادیق آن

 شما می‌گویید: محیط، قطر، دایره، طول، فاصله، بُعد. وقتی طول می‌گویید، همه می‌فهمند؛ طول یک متری، یک سانتی‌متری.یا  بُعد؛ بُعد ۲ سانتی.

وقتی می‌گویید طول،  آیا مفهوم طول،هم طول دارد یا ندارد؟ چند متر است؟ طول، دیگر معنایش طول ندارد؛ اما مصداقش چرا، طول دارد.

فاصله؛ هر فاصله‌ای بینش دو نقطه است. هر فاصله‌ای اوّل دارد، آخر دارد، دو طرف دارد.آیا مفهوم فاصله هم دو طرف دارد یا ندارد؟ مفهومِ فاصله، دو تا لبه ندارد؛ مصداقش است که دو تا لبه دارد. مفهوم فاصله، در آن فاصله نیست. این ها مفاهیم‌اند.

وقتی شما می‌گویید که فاصله­ی بین مرکز دایره با محیط دایره، شعاع دایره است. الآن آیا این فاصله‌ای که شما به کار بردید، مفهومِ فاصله است یا مصداق آن است؟این فاصله، مفهوم نیست؛ چون اوّل و آخر آن، دو تا نقطه است-از مرکز تا محیط دایره-واقعاً بین این دو، فاصله­ی خارجیِ مصداقی است. اما اگر مصداق است پس چرا تعیّن ندارد؟ شما مفهوم کلی فاصله را طوری در نظر گرفتید که با افراد مختلف، صدق کند.

قطر، محیط، دو تا مفهوم‌اند. نسبت بین این دو تا مفهوم چیست؛ از نسب اربعه؟ تباین است؛ هیچ قطری محیط نیست، هیچ محیطی هم قطر نیست. این از حیث مفهوم، روشن است. دوباره شما می‌گویید نه. من که می‌گویم نسبت بین محیط با قطر مقصودم بین دو تا مفهوم از حیث مصادیقشان نیست که می‌گویید متباین‌اند؛ من در یک دایره، نسبت سنجی می کنم. همین جا آیا باید دایره­ی مشخصی باشد تا نسبت برقرار بشود؟ یا نه؛ در کلّیِ دایره بین محیط با قطر، نسبت برقرار می‌شود. کلّی به کلّی.

دایره:«شکلِ»کلّیِ نامتعیّن؛مثالِ منفصل

سؤال ما دقیق این است:ب)الآن که نسبت بین محیط با قطر کلی‌ است، این قطر، این محیط و این نسبت این دو، به همین نحوی که الآن برقرار است، دارای شکل هستند یا نیستند؟آنهایی که طرف نسبت‌اند، آن ها شکل دارند یا ندارند؟

ج) اگر شکل دارند، مقدار باید داشته باشند. مقدارشان چه اندازه است؟ نامتعین است؟چطور شما یک شکلی دارید که اندازه‌اش نامتعین است. مگر ما شکل کلی هم داریم؟

مفهومِ «شکل»،عقلی؛دایره،مثال منفصل

اصلاً شکل یک مفهوم عقلانی دارد. شکل، شکل ندارد. شکل، یک مفهوم کلی است. اما مصداقش، یک دایره می‌شود. دایره، یک شکل است به حمل شایع. تفاوت این دو تا چیست؟ تفاوتش این است که شکل دایره به عنوان یک شکل، از عالم مثال منفصل است و لذا بین الاذهان است؛ همه­ی اذهان با هم در یک عالمی می‌روند و آن را می‌بینند. آن عالم، کجاست؟ مثال منفصل. مجرّد است به تجرد برزخی. آثار ماده را دارد، خود ماده را ندارد. و در منظر همه بشر هم هست.

دایره ۲ متری بند است به ذهن شما. دایره ۳ متری هم بند است به ذهن دیگری. اما شکل دایره -نه کلّیِ شکل که عقلانی است- شعاعش چقدر است؟ شکل دایره، قطرش چند متر است؟ اتفاقاً آن هایی که هندسه درس می‌دهند می‌گویند دایره‌ای با قطر واحد، یا دایره‌ای با شعاع واحد. پس شکل را درک می‌کنند در علم هندسه. به راحتی شکل دایره را درک می‌کنند. و حال آن‌که شکل هست؛ ولی تعیّنِ مقدارِ خاصّی از شعاع و قطر نداریم. به محض این‌که یک دایره را شعاع مِتریک به آن بدهید، بگویید ۲ متر، ۳ متر، متشخّص شد؛ شد یک فرد دایره‌ای که در قوه­ی خیالِ متصل موجود است. یعنی ذهن شما یک شعاع خاصی را به آن داد، حالا شد خیال متّصل.

پس شکلِ دایره، شکلِ مربع، یک طبیعی است که خودش را در ضمن کمّ متصل قارّ در عالمِ مثالِ منفصل به ذهن ما نشان می‌دهد. اما ما چون الآن داریم او را به راحتی می‌بینیم، مثل بچه‌ای هستیم که هنوز تشخیص نمی‌دهیم که آن شکل منفصل برای عالم مثال منفصل، با آن شکل برای مثال متصل که تصور می‌کنم تفاوت دارد؛ مثل ساعتی که در ذهن می‌آوردم(در مثال مرحوم مظفر)

اینجاست که قدر این روایت  را می‌دانید؛ خود عالم مثال، ۱۸۰۰۰ عالم است[1]. ما هنوز می خواهیم با یک زحمتی ۲ تایش را  تفکیک کنیم. ۱۸۰۰۰ عالم است. عوالم فرق دارند.

ابهام در عالم مثال

ما طول مبهم داریم یا نداریم؟ این‌که همین ابهام سبب بشود که ما بگوییم قطعاً این طول، در عالمِ مثالِ منفصل نیست؛ صرفِ  ابهامِ طول سبب بشود برای نفی چنین صورتی در عالم مثال منفصل، این ملازمه و سببیّت برقرار نیست؛ به خاطر این‌که عوالمی در مثال منفصل هست-این­طور که گفته اند و مدعی شده اند- که آن تفرّدِ فیزیکیِ خارجی را خیلی نیاز ندارد. یادم می‌آید مرحوم میرزا جواد آقا ملکی تبریزی فرموده بودند که به یک میوه وقتی در عالم مثال نگاه می‌کنید، میوه در عین حال که سیب است، در همان حال پرتقال است. این برای ذهن ما الآن سنگین است.[2]

روایت هم دارد[3]. ذیل بحث میوه ممنوعه‌ای که حضرت آدم(علیه السلام) خورده است. بعضی می‌گویند خرما است، بعضی می‌گویند گندم است، انگور است حضرت فرمودند که همه اینها هست.[4]

 خلاصه نمی‌شود احکامِ اینجا را بر آنها جاری کرد. یک میوه را وقتی نگاهش می‌کند، هم سیب است هم پرتقال است. ما الآن می‌گوییم معقول نیست؛ تناقض می‌شود؛ اجتماع ضدین می‌شود.این را فقط اشاره مطرح کردم که این­طور ادّعا و نظر هست که عالم منفصلی از مثال داریم که خیلی احکامی که اینجا داریم، لازم نیست آنجا باشد. و لذا دایره‌ای که طولش مبهم است، در آنجا یک امر محالی نیست ؛ولی در عین حال شکل است، طول دارد؛ خواص ماده را دارد، ولی مادّیت مادّه را ندارد.

تشکیک در وجود مثالیِ ثوابتِ هندسی

مثال‌های ما این را واضح کرده که  نقشِ علامتِ جمع، حتماً یک واقعیت منفصلی دارد؛ ولی این واقعیت منفصلش، تجرّد برزخی دارد، یعنی آثار ماده از شکل و طول و عرض و رنگ اینها هم دارد، که می‌شود مثال منفصل؟ یا نه؛ آن واقعیتی که دارد از سنخ معناست، از سنخ معنایی که به قوه خیال ما این طول و عرض و خواص مادّه را دستور می‌دهد.

تأمل کردم، دیدم احتمال قوی‌ای است- نمی‌شود از کنارش رد شد-که علامت جمع به عنوان یک موجودِ نفسی در ذهن ما اصلاً معنا نداشته باشد. یعنی ذهنِ من و شما، همه ،یک معانی ای مرکب که همه‌اش از سنخ طبایع است، به عنوان فرمولی از معنا دارد که تا می‌گویید علامت جمع، ذهنتان فوری در قوه­ی خیالتان، یک علامت جمع ترسیم می‌کند. راسِمَش، یک معنایی است که عقلتان درک کرده. اگر آن معنای درکی را نداشتید، قوّه خیال شما، قوّه­ی این که آن را ترسیم کند نداشت.

عکس های اس وی جی (SVG)

عکس‌هایی هست که همه در موبایل‌هایتان دارید؛ از سنخ اس وی جی((SVG [5].اگر کد اینها را ببینید، جز چند تا فرمول هیچ چیز دیگری نیست، صفحه­ی مانیتور موبایلتان یا کامپیوترتان را تقسیم‌بندی کردید، با فرمول به آن می‌گویید این طور در مانیتور، عکس بکش. می‌گویید از اینجا به آنجا بکش، یک تصویر در می‌آید. ذهنِ ما در خزانه­ی معانی خودش، یک فرمولِ معنایی دارد، حتّی بچه‌ای که ‌گفتم در ذهنش، مثلّث می‌کشد، آن معناست که به او اجازه می‌دهد که بتواند در ذهنش یک مثلث رسم کند.

مثال‌هایش را هم شما شبیه این دستگاه های  امروزی ببینید، آن که در دلِ حافظه­ی کامپیوتر و موبایل است،  نقش نیست، در دل آن، هرگز علامت جمع نیست، اما یک فرمولی، یک نظمی در دل حافظه­ی او هست که نرم افزار وقتی به آن فرمول نگاه می‌کند، به صفحه نمایش دستور می‌دهد این علامت جمع را وضع کن. از نقطه­ی­ فلان بکش به نقطه دیگر؛نگاشت ریاضی[6].

نگاشت

لفظ نگاشت دو جا به کار می‌رود:

۱.     لفظ نگاشت در فضای ریاضیات؛ تابعِ حوزه و دامنه.

۲.    نگاشت یعنی تصویر به تصویر؛مثل نقشه­ی ایران کشیدن.

 این مفهوم دوم را نمی‌شود اینجا بگویند.مقصود ما در اینجا،نگاشت ریاضی است.مثل این که  دستگاه شما آن چیزی که دارید در مانیتورش می‌بینید، فرق دارد با این دستگاهی که دیگری دارد در مانیتورش می‌بینند. ولو آن مطلبی که در حافظه دستگاه شماست، یکی است؛ ولی مانیتورها دو تاست، یعنی دستوری که دستگاه شما می‌دهد که نگاشت کن در مانیتور با آن فرق می‌کند.

[1]  سئل أمير المؤمنين صلوات الله عليه عن قول الله عز و جل: و كذلك نري إبراهيم ملكوت السماوات و الأرض‏ قال الأصبغ بن نباتة: كنت جالسا بين يديه مطرقا إلى الأرض، فرفع يده إلى فوق ثم قال لي صلى الله عليه: ارفع رأسك فطرقت رأسي، فرفعت رأسي، فرأيت السقف قد انفرج و رأيت نورا ساطعا إلى تحت العرش، فحار بصري فرددته، ثم قال لي صلى الله عليه: يا ابن نباتة، فرأى إبراهيم ملكوت السماوات و الأرض هكذا، ثم قال صلى الله عليه: أطرق رأسك فطرقت رأسي‏ثم قال: ارفع رأسك، فرفعت رأسي و إذا السقف بحاله.ثم أخذ بيدي فقام و أخرجني من البيت الذي كنا فيه فأدخلني ببيت آخر و خلع ثيابا كانت عليه و لبس ثيابا غيرها، ثم قال: لا تفتح عينك، فلبثت ساعة ثم قال عليه السلام: تدري أين أنت؟ قلت: لا يا مولاي، قال صلى الله عليه: أنت في الظلمة التي سلكها ذو القرنين.فقلت له: جعلت فداك، أ تأذن لي حتى أفتح عيني؟فقال عليه السلام لي: افتح فإنك لا ترى شيئا، ففتحت عيني فإذا أنا في ظلمة لا أبصر فيها موضع قدمي، ثم سار قليلا و وقف و قال: أ تدري أين أنت؟ قلت: لا يا مولاي، قال عليه السلام: أنت واقف‏على عين الحياة التي شرب منها الخضر عليه السلام، و سرنا قليلا إلى عالم آخر فسلكنا فيها فرأيتها كهيئة عالمنا هذا في نباته و ساكنه و أهله، ثم خرجنا إلى عالم ثان حتى وردنا على خمس عوالم ثم قال صلوات الله عليه: هذه ملكوت الأرض كما ترى و هي ثمانية عشر ألف‏ عالم‏، كل عالم كهيئة ما رأيت.ثم أخذ بيدي فإذا نحن بالبيت الذي خرجنا منه، و نزع تلك الثياب و لبس ثيابه التي كانت عليه، و عدنا إلى مجلسنا، فقلت له: جعلت فداك، كم مضى من النهار؟فقال: ثلاث ساعات‏ (المناقب (للعلوي) / الكتاب العتيق، ص: ۸۴-۸۵)

[2] بعضى از خواص براى عالم مثال مطالبى بيان داشته‌اند كه براى اكثر مردم قابل قبول نيست، اينان براى گفته‌هاى خود از اخبار و رواياتى كه در حالات كاملين و صفات آنها رسيده استشهاد نموده‌اند از جمله اين فرمايش معصوم كه مى‌فرمايد: كلنا محمد. همۀ ما محمد هستيم و يا كلنا واحد. همۀ ما يكى هستيم، يا آن روايت كه مى‌گويد بعضى از نهرهاى بهشتى مشروباتى دارد كه طعم هر مطعوم و مشروبى در آن هست، اينان مى‌گويند اين بدان خاطر است كه هر موجودى از موجودات آن عالم در بردارندۀ همۀ خصوصيات موجودات ديگر آن عالم نيز هست، و لذا انسان در هر لحظه‌اى جميع لذاتى كه در همۀ موجودات آن عالم وجود دارد با طعم مخصوص، و لذت خاص آنها، در هريك از آن موجودات مى‌يابد بدون اينكه خصوصيتى از يكى از آنها از بين برود(اسرار الصلوه،١٣٠)

[3] در کافی شریف در وصف رسول مکرم اسلام چنین آمده است:له حوض أكبر من بكة إلى مطلع الشمس‏ من رحيق مختوم‏ فيه آنية مثل نجوم السماء و أكواب مثل مدر الأرض عذب فيه من كل شراب و طعم‏ كل‏ ثمار في الجنة (الكافي (ط - الإسلامية) ؛ ج‏۸ ؛ ص۱۳۹)

[4] قال الإمام أبو محمد العسكري (عليه السلام): ...فقال تعالى: و لا تقربا هذه الشجرة شجرة العلم، فإنها لمحمد و آله خاصة دون غيرهم، و لا يتناول منها بأمر الله إلا هم، و منها ما كان يتناوله النبي (صلى الله عليه و آله) و علي و فاطمة و الحسن و الحسين (عليهم السلام) بعد إطعامهم اليتيم و المسكين و الأسير، حتى لم يحسوا بعد بجوع و لا عطش و لا تعب و لا نصب.و هي شجرة تميزت بين أشجار الجنة؛ إن سائر أشجار الجنة كان كل نوع منها يحمل نوعا من الثمار و المأكول، و كانت هذه الشجرة و جنسها تحمل البر و العنب و التين و العناب‏و سائر أنواع الثمار و الفواكه و الأطعمة، فلذلك اختلف الحاكون لذكرالشجرة، فقال بعضهم: هي برة، و قال آخرون: هي عنبة، و قال آخرون:هي تينة، و قال آخرون: هي عنابة. (البرهان في تفسير القرآن، ج‏1، ص: ۱۷۸)

در کتاب الثاقب فی المناقب ابن حمزه طوسی نیز چنین آمده است: فبينا نحن وقوف، إذ نحن بغمامة قد أظلتنا ببرق‏ و رعد حتى قربت منا، فألقت بين يدي رسول الله (ص) سفرة عليها رمان، لم تر العيون مثلها، على كل رمانة ثلاثة أقشار: قشر من اللؤلؤ، و قشر من الفضة، و قشر من الذهب.فقال (ص) لي: قل: بسم الله و كل يا علي، هذا أطيب من سفرتك. و كشفنا عن الرمان، فإذا فيه ثلاثة ألوان من الحب: حب كالياقوت الأحمر، و حب كاللؤلؤ الأبيض، و حب كالزمرد الأخضر، فيه طعم كل شي‏ء من اللذة (الثاقب في المناقب، ص:۵٨- ۵۹)

[5] در دنیای کامپیوتر دو نوع گرافیک برای عکس ها داریم : یکی Raster و دیگری Vector  .

درRaster Graphics که به آن گرافیک شطرنجی هم گفته می شود ، تصویر ها به صورت پیکسلی هستند ، طبیعتا هر کدام از این پیکسل ها رنگ خاص خودشان را دارند و جداگانه ذخیره می­شوند . همه ی فرمت های bmp، jpg ، و gif از این دسته هستند . ویژگی این مدل تصاویر این است که با بزرگ تر شدنشان، کیفیتشان کمتر می­شود.

اما در Vector Graphics که به آن گرافیک بُرداری می­گویند  یک تصویر، مجموعه ای از نقطه ها ، خط ها ، منحنی ها و چندضلعی ها هست . این نوع گرافیک با مختصات ریاضی سروکار دارد . تصور کنید یک محور x و y ترسیم شده و هرکدوم از این بردار ها با متوجه به مختصاتی که دارند ترسیم شدند و سرجای خودشان قرار گرفتند ( منظور از بردار صرفا یک خط راست نیست ). در این روش، به مرورگر دستور می­دهیم در فلان نقطه ، فلان بردار را ترسیم کن . در این مدل از تصاویر، کیفیت به اندازه وابسته نیست و به طور کلی مستقل از رزولوشن است .

اس وی جی مخفف عبارت Scalable Vector Graphic به معنای نگاره‌سازی برداری مقیاس‌پذیراست.نمونه یک تصویر SVG را در ادامه مشاهده می کنید.تصویر سمت چپ،نمونه دستور داده شده به رایانه و تصویر سمت راست،خروجی دستور به صورت تصویر است.(سایت ویرگول،‌مقاله اس وی جی چیه و چکار میکنه؟)

[6] نگاشت در ریاضیات به معنی ارتباطی است که میان اشیاء یا ساختارهای ریاضیاتی برقرار است. نگاشت‌ها می‌توانند پیکان یا تابع ( تابِعدر ریاضیات یک رابطه دوتایی روی دو مجموعه است که هر عنصر در مجموعه اول را دقیقاً به یک عنصر در مجموعه دوم مرتبط می‌کند(باشند هرچند که این مفاهیم در جاهایی همپوشانی دارند.(ویکی پدیا)اغلب هر تابع را یک «نگاشت» (Map) در نظر می‌گیرند ولی بعضی ریاضیدانان، برای مفهوم نگاشت و تابع، تمایز قائل می‌شوند.(سایت فرادرس،مقاله تابع حقیقی و نگاشت در ریاضیات)