دو تعريف رقيب و با سابقه براي نقطه

معلم در اولين بار كه ميخواهد دانش آموزان را با نقطه آشنا كند ميگويد: سر مداد را تا ممكن است تيز كنيد و بدون كوچكترين حركتي روي كاغذ بگذاريد ، تيزي براي نفي تجزّي ، و عدم حركت براي نفي تركّب ، يعني بطور مطلق امتداد و بعد را برداريد و تعدد بالفعل يا بالقوة را نفي كنيد ، و اكنون دانش آموز مقصود را گرفت ، با مفهوم نقطه آشنا شد ، و لذا اگر با مسلّح كردن چشم او سر مداد را مثل قله كوه و نقطه روي كاغذ را همانند يك فلات وسيع مشاهده كرد ، تنها مصداق را از دست او گرفته ايم و مفهوم نقطه جايگاه خود را حفظ كرده است.

اما وقتي اين دانش آموز چند قدمي در علم پيشروي كند با سؤالي مشكل روبرو ميشود كه خلاصه در نهايت امر ما به نقطه خواهيم رسيد يا خير؟ يعني مصداقي خارجي براي اين مفهومي كه براحتي آنرا ادراك ميكنيم وجود دارد؟ و از دير زماني براي پاسخگوئي به اين سؤال تلاشها شده است.

مفهوم نقطه نزد كساني كه قائل به جزء لا يتجزي و جوهر فرد شدند موقعيت خود را حفظ كرد يعني تعريف نقطه به « ما لا جزء له » يا « ما لا بعد له » كاملاً صحيح بود « ما » ي موصوله مصداقي خارجي داشت و جوهر فرد هيچ گونه بعد قار نداشت ، اما نزد كسانيكه جوهر فرد را غير معقول دانستند مفهوم نقطه رنگ « نهايت و طرف خط » بخود گرفت و درابتداء ولو از آن تعبير به عرض ميكردند اما با وضوح امر در معقولات ثانيه فلسفيه و اعتباريات نفس الامريه شكي باقي نماند كه « طرف » فقط اتصاف خارجي دارد نه عروض خارجي ، و وجود في نفسه لغيره يعني عرض نيست.

و از آنجا كه ممكن است گفته شود غالب نزاعهائي كه بين بزرگان اهل فكر و تعقل صورت ميگيرد از ملاحظه يك طائفه حيثيتي را غير از حيثيت ملحوظه طائفه ديگر است، به جهت اشتمال نفس الامر بر حيثيات لطيفه و دقيقه كه چه بسا سالها مناظرات علميه لازم است تا از هم تفكيك شوند ، آيا محتمل نيست كه يكي از آن موارد جزء لايتجزي باشد كه با وضوح بعض مفاهيم مثل حدّ و يا دست يافتن به بعض امور تجربيه، اطلاق صحت يا بطلان از مدعاي طرفين سلب شود و هر كدام در محدوده خود حاكم شود و در اين ميان تعريفي هم براي نقطه، نسبت به كم متصل و اصل قرار دادن پيوستگي و اجزاء بالقوه ، و يا نسبت به كم منفصل و اصل قرار دادن اجزاء بالفعل ، به دست آيد با ضمانت در تطبيق ؟ در طي چند يادداشت، زمينه سازي شده است براي هر دو نوع تعريف كه در آنها از مفهوم حدّ و مجموعه و نيز دو نوع ميل به صفر كمك گرفته شده است . البته اگر مجموعه ها را به سه دسته تقسيم كنيم 1- مجموعه هاي حقيقي 2- مجموعه هاي اعتباري 3- مجموعه هاي فرضي ،مقصود در اينجا فقط دسته اول خواهد بود.

 ذرّه اي در لحظه اي در نقطه اي در تكاني

 يادداشتها

 نقطه تماس خط و دائره يا دو سر مخروط از نظر هندسي فرض صحيحي است، و برهان اقليدس بر كوچكترين زاويه حاده تام است، و ادراكات هندسي يا بر صرف تعقل دور ميزند كه اين فرض صحيح است، و يا بر تصوير مثالي ذهني دور ميزند كه باز اين فرض صحيح است چون صورت علميه قابل بزرگ شدن نيست پس در هر مقياس نزد حدّ همان مقياس تماس در نقطه حاصل شده است چون در آن مقياس ديگر امتداد قابل تقسيم نداريم و تصوير بزرگتر باز حدّ مخصوص به خود و نقطه مخصوص به خود دارد و اما از نظر خارجي اساسا تماس تحقق پيدا نخواهد كرد مگر در ضمن يك امتداد ولو كوچك، و در اين حال اگر در مقياس ناظر، به حدّ رسيده باشد گوئيم تماس در نقطه حاصل شده به نظر ناظر، لكن از آنجا كه امر خارجي تا بينهايت صلاحيت دارد كه بزرگ شود خواه به انبساط خود او يا به كوچك كردن مقياس ناظر، پس ما در خارج امري و موضعي به نام نقطه تماس نداريم بلكه تماس هميشه در خارج در ضمن يك امتداد خواهد بود كه اين امتداد در هر حدّ مقياس معيني نام نقطه به خود ميگيرد يعني در آن مقياس مفهوم نقطه بمعناي غير ذي بعد بر آن صدق ميكند نظير صدق واحد بر يك انسان در حاليكه سراپاي او كثرت است و متشكل از اجزاء و اعضاء .

پس مفهوم نقطه مفهومي است كه تمام نقاط خارجي بطور نسبي فقط او را نشان ميدهند مثل مفهوم واحد كه تمام واحدهاي خارجي بطور نسبي فقط آنرا نشان ميدهد و مفهوم آن بطور تام در هيچ مصداق خارجي جسماني محقق نميشود يعني همه واحدها از حيثي واحد و از حيث ديگر متعدد هستند حتي خود « يك » دو نيم است همانطوريكه خود « دو » يك عدد است. در خارج چيز بي بعد نداريم اما بي بعد بمعناي بعد به صفر ميل كرده نسبت به يك واحد مشخص مفروض، داريم، و همانطور كه حدّ خاص ميل به صفر نفس الامريت دارد و جزاف نيست آثار نفس الامري هم دارد كه از آنها معدّ بودن براي ظهور صور ملكوتيه مجرّده اشياء نزد قواي مدركه است.

پس مفهوم نقطه مفهوم نسبي بمعناي اينكه مثل معقولات ثانيه اعتباريه انتزاعيه قياس و نسبت مقوم خود مفهوم باشد نيست بلكه مثل مفهوم « يك » و بلكه مطلق عدد بوسيله نسبتي بيرون از خود، مفهوم را نشان ميدهد. تعريف نقطه به طرف خط آنرا معقول اعتباري نفس الامري ميكند كه انتزاع آنرا از جسم تعليمي و سطح و خط متأخر ميسازد ، و تمام اين معقولات ثانيه يك نوع نسبيت در آنها است كه ميتوان به صورت مصدر صناعي بيان كرد مثل فوقيت ، عليت ، طرفيت ، ولي از نقطه چنين تعبيري نميتوان كرد بلكه ذهن براي نقطه مصداقي ميطلبد وراي منشأ انتزاع كه طرف خط باشد ، و نبايد شك كرد كه معناي چيز بي بعد به مفهوم ارتكازي متبادر از نقطه نزديكتر است تا طرف الخط كه چون جزء لايتجزي و جوهر فرد را محال دانسته اند در نتيجه نقطه را چنين تعريف كرده اند .

ايماءٌ : از تقسيم هر امتداد و بعد اجزائي از سنخ خود او بدست ميآيد لكن وقتي به يك كره تكويني يعني ذره نسبت به هر عالمي مثل زمين براي كيهان رسيديم ديگر از تقسيم آن، كره بدست نميآيد بلي ميتوان كره كوچكتر در او فرض كرد ولي اين غير از تقسيم او به كرات است.

وقتي ميگوئيم نقطه آنست كه بعد ندارد ، در هندسه مسطحه منظور عدم طول و عرض است اما در هندسه فضائي عدم طول و عرض و عمق است كه ميتوان به آن ذره گفت ، هر چند ذره اصطلاح فيزيكي و نقطه اصطلاح هندسي است ، و تأثير پذيري نقطه از اينكه ما چه نوع فضائي را ( اقليدسي يا غير آن ) انتخاب كنيم بعيد نيست كما اينكه همين امر در ذره وضوح بيشتري دارد كه متمحض در تصور هندسي نيست ، و كذا « آن » حركات مختلفه با سرعتهاي متفاوته كه ميل به صفر كرده و نقطه حركت گرديده ممكن است يكسان نباشد ، و از اينجا ميتوان سؤالي را مطرح كرد كه آيا در نقطه تماس خط و دائره يك نقطه مشترك داريم كه هم جزء دائره و هم جزء خط است همانگونه كه خطّ مماسّ را بوسيله رسم عمود ازسر قطر به دست ميآوريم يا آنچه اقرب به واقع است اين است كه دو نقطه داريم كه تماس پيدا كرده اند يكي نقطه اي از خط منحني كه به صفر ميل كرده و ديگري نقطه اي از خط مستقيم كه به صفر ميل كرده كه امكان ندارد يكي باشند بلكه به هم چسبيده اند چون نقطه در خط، طول ميل به صفر كرده است پس هر خطّي ( منحني و مستقيم ) ميل به صفر خاصّ خود دارد هر چند عملاً هنگام ميل به صفر جز يك نقطه نداريم و تمايز بين دو ميل به صفر كرده نيست، و همچنين نقطه در سطح ، دايره به حدّ رسيده و در فضا كره اينچنين و در چهار بعدي حادث اينچنين است.