قدرت نمادهای ترکیبی
خب حالا نماد می‌تواند این‌ها را نشان بدهد یا نه؟ من می‌خواهم این را عرض کنم که نماد این قدرت را دارد و لذا خدای متعال می‌فرماید در کتاب خودم کل نفس الامر را آورده‌ام. این یک چیز محال نیست که بگویید اصلاً نمی‌شود! بلکه نماد این قدرت را دارد. الآن در اعداد طبیعی وقتی می‌خواهید با نماد بگویید، به‌صورت ساده مثلاً می‌گویید ده هزار. وقتی این اعداد طبیعی در جهت بی‌نهایت، بزرگ شد، چطور می‌خواهید آن را با نماد نشان بدهید؟ یک عددی که یک تریلیون رقم دارد را چطور نشان می‌دهید؟! به‌خصوص اگر عدد اول باشد. خب الآن به‌راحتی بزرگ‌ترین اعداد اول را با نمادهای علمی نشان می‌دهند؛ نماد ترکیبی؛ الآن بحث ما همین است. بحث نمادهای ترکیبی، خیلی جالب است و همه این‌ها را نشان می‌دهد. مثلاً در همین یک دوم و یک سوم، این سؤال ساده را خدمت شما می‌گویم و همه هم جواب می‌دهید: روی محور اعداد، عدد گویای یک دوم و عدد گویا یک سوم و عدد گویای یک پنجم، هرکدام یک نقطه است یا دو نقطه است؟ نقطه یک دوم، روی محور، یک نقطه است. نقطه یک سوم، یک نقطه است. خب اگر یک نقطه است، پس یک عدد است یا چند عدد است؟
شاگرد۵: ترکیب است.
استاد: یعنی چه ترکیب است؟! ترکیب چیست؟! یک نقطه است. یک نقطه، یک عدد است یا چند عدد است؟ این یک دوم، نماد یک عددی است که آن عدد، یک نقطه‌ای را روی محور به خودش اختصاص می‌دهد. یک سوم، یک نقطه است یا چند نقطه؟ یک نقطه است. پس یک عدد است یا چند عدد است؟ یک عدد است؛ اصلاً ریاضی‌دان‌ها تردیدی ندارند. ولی خب چرا مجبوریم دو سوم و یک سوم بگوییم؟ نمی‌توانیم جور دیگری بگوییم، چرا؟
شاگرد۳: یک سوم عدد خاصی نیست، تا بی‌نهایت ادامه دارد.
استاد: می‌دانم، می‌خواهم بگویم چرا مجبوریم یک و سه را بیاوریم؟ می‌خواهم نماد ترکیبی را عرض کنم.
شاگرد۴: یعنی خود عددش را نمی‌توانیم بیاوریم و فقط باید به این صورت بیانش کنیم.
استاد: چرا؟ مقصودم این است که قدرت نماد و توسعه آن این است: با یک کاری که ذهنتان انجام می‌دهد، عددی که دقیقاً یک نقطه است و یک عدد ریاضی است، اما با یک نماد مثل سه نمی‌توانید نشانش بدهید، مجبورید بگویید این نقطه نسبت یک به سه است. آن خطی که بین آن دو می‌کشید همین است. 
خودش یک تابع است. خوب دقت کنید که یک سوم، سه عدد یا سه مفهوم نیست، بلکه یک عددی است که خروجی یک تابع است. یعنی وقتی شما یک تابع را اعمال می‌کنید، وقتی ورودی‌هایش را گرفت، یک خروجی به شما می‌دهد. پس یک سوم، دقیقاً چون خروجی واحد بسیط یک تابع است، بسیط است و یک چیز است، ولی چاره‌ای ندارید که در نمادش، از سه نماد استفاده کنید؛ 1 و 3 و یک خطی که به‌معنای عملگر تقسیم است.
حالا جلوتر می‌رویم تا ببینیم قدرت نماد چکار می‌کند. با یک چیز ساده - یعنی تقسیم، که می‌گوییم این بر او، که به آن نسبت می‌گوییم - این عدد را بیان کردیم. در مباحثه اقلیدس هم مفصل بحث شد. اول، تناسب، فیثاغورسی بود و وقتی رادیکال دو و اعداد گنگ کشف شد، تناسب به هم ریخت؛ اربعه متناسبه به هم ریخت و اگر ایودوکسوس شاگرد افلاطون بعداً برای تناسب، تعریف جدیدی نداده بود، تا حالا اصلاً ریاضیات نداشتیم. او آمد تعریف جدیدی برای … .
شاگرد۵: چه کسی؟
استاد: شاگرد افلاطون، او به تناسب، تعریف غیر افلاطونی داد. در اصول اقلیدس هست. تا این تعریف در فضای اهل ریاضیات آمد، اقلیدس غنیمت شمرد و اصول اقلیدس را نوشت. یعنی اگر این تعریف او از تناسب، تعریف جدیدی نبود، اقلیدس نمی‌توانست بنویسد؛ اصلاً نمی‌توانست این کار را انجام بدهد. البته بعد از ریاضیات عالی که بعد از نیوتون باب شد، بدون تعریف ایودوکسوس هم کار را با مفاهیم حد پیش می‌برند - که جای آن خودش در تاریخ ریاضیات است - یعنی اگر الآن زمان ما بود و تعریف ایودوکسوس هم نبود، می‌گفتند با حد هم ما سامان می‌دهیم، کما این‌که الآن هم همین‌طور شده است. یعنی الآن وقتی در مدرسه‌ها می‌گویند نسبت سه چهارم، یعنی سه تقسیم بر چهار. تقسیم، خودش یک عملگر ریاضی است. عملگری که بر خلاف ضرب است که خاصیت جابه‌جایی دارد - چه شما بگویید سه چهار تا، چه بگویید چهار سه تا؛ ضرب، خاصیت جابه‌جایی دارد و فرقی نمی‌کند - اما در عملگر تقسیم، خاصیت جابه‌جایی، جاری نیست. چهار تقسیم بر سه، با سه تقسیم بر چهار، خروجیشان تفاوت می‌کند. چهار سوم با سه چهارم، عددی متفاوت است. این خطی که در تقسیم می‌کشیم، خودش یک عملگر است که دارد یک تابعی را سامان می‌دهد. وقتی شما دو ورودی مترتب را وارد کنید - یعنی یک دوم با دو یکم - فرق می‌کند و مثل ضرب نیست؛ ورودی اول شما، یک است، ورودی دوم شما دو است و می‌گویید یک تقسیم بر دو و نسبت یک به دو که روی محور یک نقطه‌ای دارد. الآن شما چکار کرده‌اید؟ با معنای عملگر تقسیم، عدد یک دوم را به‌صورت نماد درآورده‌اید. یک عدد است، اما یک دوم در این یک عدد، خروجی آن عملگر و تابع است. کما این‌که خود رادیکال دو، به چه معنا است؟ ببینید بشر چه ترفندهایی زده! رادیکال یعنی جذر. به جای این‌که بگوید این عدد را چکار کنیم، می‌گوید جذر دو. ببینید؛ مفهوم جذر را این‌طور ترکیب می‌کند. عمل‌های دوتایی، سه‌تایی و یک‌تایی داریم؛ ظاهر جذر یک عمل یک‌تایی است. یعنی فقط یک عمل‌وند می‌گیرد؛ جذر دو؛ جذر دو را بگیرید، یعنی عملیة الجذر را روی دو انجام بدهید. شما رادیکال و دو را با هم ترکیب کردید و یک عدد شد.
فقط این ماند که ما نمادهایی داریم که معنانگار است. الآن توضیح ترکیب نماد را دادم. این‌که به وادی‌ای برویم که نماد، لفظ‌نگار نباشد - کما هو المتعارف - بلکه معنانگار باشد؛ ان شاء الله جلسه بعد مطرح می‌کنیم. وقتی راه افتاد، بعد نشان می‌دهد نمادی که پایه‌محور باشد، چه قدرتی دارد.
شاگرد۱: اعداد طبیعی می‌توانند نمادها را بشمارند؟
استاد: نه، الآن همین رادیکال دو را اعداد طبیعی نمی‌توانند بشمارند.
شاگرد۱: یعنی این قدرت تولید نماد، قدرت بی‌نهایت بودنش از اعداد طبیعی قوی‌تر می‌شود؟
استاد: نه، اصلاً نیازی به این نیست. چون وقتی معنانگاری شد، به شما تابع می‌دهد. در تابع، نیازی به نماد زیاد نیست. وقتی می‌گویید
، این را به آن می‌دهید وخروجی می‌گیرید.
شاگرد۵: یعنی با تعداد محدودی نماد، می‌توانیم بی‌نهایت بسیار فشرده را نمادگذاری کنیم.
استاد: شما برای بچه،
را تعریف کنید؛ یعنی یک عددی تقسیم بر دیگری؛ نسبت A به B است. همین را که توضیح دادید، کل مجموعه اعداد گویای فشرده را توضیح داده‌اید.
شاگرد۱: این مربوط به امور کمی است، امور کیفی را به چه صورت نماد می‌گذارید؟
استاد: آن‌ها را هم عرض می‌کنم؛ آن‌ها به‌خوبی نمادگذاری می‌شوند. می‌خواهم همین را توضیح بدهم که نماد چه قدرتی دارد. این قدرت باید در ذهن ما روشن شود؛ این یک چیز کمی نیست.
بدون نظر