فصل چهارم: علوم پایه در سابقه حوزه
ریاضیات در سابقه حوزه
در خود همین ریاضیات ببینید که علماء بزرگ ما چه سوابقی دارند. من مکرر گفته‌ام که متأسفانه در قرون اخیر حوزه‌ها از آن فاصله گرفته‌اند. و الّا آخرین کتاب علّامه حلی، قواعد است[1].
علاّمه حلی و علم جبر
زمان علامه حلی چند قرن از پیدایش علم جبر[2] گذشته بود. الآن در کل دنیا اسم این علم «Algebra» است. یعنی اسم آن عربی است و همه آن را می‌دانند. هر کجا مراجعه کنید این‌گونه است. پیدایش و حدوث علم جبر بعد از اسلام بوده، برای خوارزمی و بوزجانی بوده است. این‌ها قرن سوم شروع شد. علامه برای بعدش می‌باشد[3].
علامه حلی در قواعد و در متن فقهی سنگین در معاملات به مسائلی می‌رسد که می‌گویند: این ها حل می‌شود بالجبر و المقابلة[4]. این کلمه علامه به چه معنا است؟ یعنی منِ علامه هم بلد هستم و هم آن را درست می‌دانم که به مخاطب خودم می‌گویم که باید از این علم در فقه استفاده کرد. اگر من اشتباه می‌گویم بفرمایید[5].]
[1] اقوال در زمینه تاریخ تألیف کتاب قواعد
در مورد زمان تالیف کتاب شریف قواعد اختلاف است.
١. سال ۶٩٩
علامه خود در پایان کتاب شریف قواعد در ضمن وصیتی که به فرزند خود فخر المحققین دارد تصریح می کند که این کتاب را پس از به پایان بردن پنجاه سالگی و در ابتدای دهه ششم از حیات مبارک خویش تألیف نموده است:
وصيّة
اعلم يا بني - أعانك اللّٰه تعالى على طاعته، و وفّقك لفعل الخير و ملازمته، و أرشدك إلى ما يحبّه و يرضاه، و بلّغك ما تأمله من الخير و تتمنّاه، و أسعدك في الدارين، و حباك بكلّ ما تقرّ به العين، و مدّ لك في العمر السعيد و العيش الرغيد، و ختم أعمالك بالصالحات، و رزقك أسباب السعادات، و أفاض عليك من عظائم البركات، و وقاك اللّٰه كلّ محذور، و دفع عنك الشرور - إنّي قد لخّصت لك في هذا الكتاب لبّ فتاوى الأحكام، و بيّنت لك فيه قواعد شرائع الإسلام بألفاظ مختصرة و عبارات محرّرة، و أوضحت لك فيه نهج الرشاد و طريق السداد، و ذلك بعد أن بلغت من العمر الخمسين و دخلت في عشر الستين، و قد حكم سيّد البرايا صلّى اللّٰه عليه و آله بأنّها مبدأ اعتراك المنايا.(قواعد الاحکام، ج ٣، ص 714)
این زمان با عنایت به زمان تولد جناب علامه حلی در سال ۶۴٨(بنا به تصریح خود ایشان در کتاب رجالی خویش: و المولد التّاسع و العشرون من شهر رمضان سنة ثمان و أربعين و ستّمائة(ترتیب خلاصة الاقوال، ص ١۵٩))، سال ۶٩٩ هجری قمری می باشد.
٢. سال ۶٩٣ یا ۶٩٢
ایشان در کتاب رجالی خود، ترتیب خلاصة الاقوال نیز به ذکر کتب خود پرداخته است. در این کتاب که زمان تألیف آن سال ۶٩٣(وطبق برخی از نسخ ۶٩٢) هجری است، از کتاب های مختلفی نام می برند که قواعد نیز از این جمله است:
الحسن بن يوسف بن علیّ بن مطهّر
- بالميم المضمومة و الطّاء غير المعجمة، و الهاء المشدّدة، و الرّاء - أبو منصور الحلّيّ مولدا و مسكنا، مصنّف هذا الكتاب - له كتب:
كتاب منتهى المطلب في تحقيق المذهب: لم يعمل مثله، ذكرنا فيه جميع مذاهب المسلمين في الفقه، و رجّحنا ما نعتقده؛ بعد إبطال حجج من خالفنا فيه، يتمّ إن شاء اللّه تعالى، عملنا منه إلى هذا التّأريخ - و هو شهر ربيع الآخر سنة ثلاث و تسعين و ستّمائة - سبع مجلّدات.(ترتیب خلاصة الاقوال، ص ١۵۵)... كتاب قواعد الأحكام في معرفة الحلال و الحرام.( ص ١۵٨)
صاحب کتاب شریف کشف اللثام در مورد وجه تألیف کتاب و تاریخ آن این گونه می فرماید: این کتاب به درخواست فخرالمحققین و بنا به اظهار خود او پس از اشتغال به تحصیل معقول و منقول تألیف شده است:
این احتمال با کلام علامه در خلاصه در پایان ذکر عناوین کتب تقویت می شود: و هذه الكتب فيها كثير لم يتمّ، نرجو من اللّه تعالى إتمامه(ترتیب خلاصة الاقول، ص ١۵٩)
الذریعة نیز ظاهراً با استناد به خلاصة الاقوال، تاریخ تألیف کتاب را سال ۶٩٢ یا ۶٩٣ عنوان کرده است:
930: قواعد الأحكام في مسائل الحلال و الحرام
للعلامة الحلي المتوفى 726 و هي من كتب المتداولة المشهورة، نسخه عصر المصنف عليها إنهائه:أنهاه الحسين بن ناصر بن إبراهيم العاملي في 725 و قد مرت التعليقة و الحواشي و الشروح الكثيرة عليه كل في محله، مثل جامع المقاصد و كشف اللثام و مفتاح الكرامة و قيل إن عدد مسائل القواعد ستمائة و ستين، في الفقه لخص فيه فتاواه و بين قواعد الأحكام بالتماس ولده فخر المحققين. أوله:[الحمد لله على سوابغ النعماء و ترادف الآلاء المتفضل بإرسال الأنبياء...] و في خاتمته توصية مبسوطة إلى ولده المذكور، و قد فرغ منه في 693 أو 692 كما ذكره في كشف اللثام و نسخه موجود في خزانة الشيخ علي بن الشيخ محمد رضا كاشف الغطاء،
قال في آخره: إنه أتمه بعد أن بلغ من العمر خمسين و دخل في عشر الستين، طبع كرارا منها في 1272 و منها بقطع رحلي كبير مع حواشي نافعة في 1329 و يوجد عند فخر الدين بن مجد الدين في طهران أيضا نسخه، روى كتابتها 724 و عليها إجازة العلامة الحلي.( الذريعة إلى تصانيف الشيعة ؛ ج17 ؛ ص176-١٧٧)
برخی نیز با استناد به وصیت جناب علامه در انتهای کتاب قواعد، بر آقابزرگ اشکال وارد کرده اند:
و في آخر الكتاب وصية قيّمة للعلّامة يوصي بها ولده بقوله: اعلم يا بني أعانك اللّه تعالى على طاعته .. قد لخّصت لك في هذا الكتاب لبّ فتاوى الاحكام، و بيّنت لك قواعد شرائع الإِسلام بألفاظ مختصرة و عبارات محرّرة، و أوضحت لك فيه نهج الرشاد و طريق السداد، و ذلك بعد ان بلغت من العمر، الخمسين و دخلت في عشرة الستين، و قد حكم سيد البرايا بأنّها مبدأ اعتراك المنايا ..
و بما انّ العلّامة من مواليد عام 648 ه، فقد بلغ الخمسين عام 698 ه، و تجاوز عنه عام 699 أو 700 ه، و بذلك يعلم انّ ما ذكره شيخنا المجيز من أنّه ألّف القواعد عام 693 أو 692 ه ليس بتام.( تذكرة الأعيان ؛ ج1 ؛ ص254)
فارغ از کلام الذریعة که در آن صریحاً کلمه فراغ عنوان شده است، می توان بین دو مطلب این گونه جمع کرد که تاریخ ابتدای کتابت از سال ۶٩٢ و یا قبل از آن بوده است اما تکمیل آن در طی نزدیک به ده سال یعنی سال ۶٩٩ می باشد.
٣. سال ٧٢٠
در نقطه مقابل این دو دیدگاه، در ریاض العلماء از برخی از شاگردان مرحوم محقق کرکی این گونه نقل شده است که تألیف قواعد را در طی ده سال و به سال ٧٢٠ می داند:
و قال بعض تلامذة الشيخ علي الكركي في رسالته المعمولة لذكر أسامي المشايخ: و منهم الشيخ البحر القمقام و الاسد الضرغام العلامة جمال الدين الحسن بن يوسف بن المطهر الحلي، صاحب التصانيف الكثيرة و المؤلفات الحسنة التي تنيف على المائتين، منها كتاب القواعد و الارشاد و التحرير و المختلف و منتهى المطلب و النهاية و نهاية المرام في علم الكلام و نهاية الوصول الى علم الاصول و نهج الحق و نهج المسترشدين و الهادي و تهذيب الوصول الى علم الاصول و واجب الاعتقاد و منهاج الصلاح، و أجود تصانيفه القواعد ألفها في عشر سنين سنة عشرين و سبعمائة و اشتغل بدرسه ببغداد- انتهى.( رياض العلماء و حياض الفضلاء ؛ ج1 ؛ ص363-٣۶۴)
ایشان خود اما چنین مطلبی را باور ندارد:
و أقول: في كلامه نظر: أما أولا فلان وفاة العلامة سنة ست و عشرين و سبعمائة، و كان تأليف القواعد ...(همان، ص ٣۶۴)
عبارت مولف در طبع موجود و همچنین در نسخه خطّی موجود در کتابخانه مرحوم آیت الله بروجردی سقط دارد اما در ترجمه کتاب به زبان فارسی، این بخش نیز ترجمه شده است (عجیب است که فقره بالا در این کتاب، این گونه ترجمه شده است که «در سن ده سالگی در سال ٧٢٠ هجری تألیف کرده»! و حال آن که مقصود از ده سال، طول زمان تألیف است و نه سنّ جناب علامه) :
مؤلف گوید،کلام این فاضل بیرون از نظر نیست زیرا،علامه در سال 726 درگذشته است و بنا به نوشته او بایستی کتاب قواعد را شش سال پیش از رحلتش نوشته باشد و چه زمان از تألیف آن فراغت یافته تا در بغداد،بر فرضی که در بغداد بوده،تدریس کرده باشد. (ترجمه ریاض العلماء، ج ١، ص ۴٩٩)
به نظر می رسد اگر مقصود از سال ٧٢٠، زمان پایان و نه ابتدای تألیف باشد دیگر جایی برای اشکال صاحب ریاض غیر از ابهام در مورد سکونت در بغداد باقی نمی ماند.
مرحوم افندی در تعلیقه خود نیز بر امل الآمل، زمان تألیف کتاب را همان سال 699 عنوان می‌کند:
(كتاب قواعد الأحكام) فرغ من تاليفه ليلة تاسع شهر رمضان سنة تسع و تسعين و ستمائة، و رأيت في آخر نسخة منه بخط بعض تلامذته أن فراغ المؤلف منه ليلة رابع عشر من ذي الحجة في السنة المذكورة.( تعليقة أمل الآمل ؛ ص127)
مرحوم سید محسن امین نیز با استناد به وصیت جناب علامه در پایان کتاب، بر کلام شاگرد محقق کرکی اشکال وارد می‌کند:
(13) قواعد الأحكام في معرفة الحلال و الحرام مجلدان كثير الشروح و الحواشي مسائله 6600 مسألة. في الرياض عن بعض تلاميذ المجلسي إنه أجود تصانيفه ألفه في عشر سنين و فرغ منه سنة 720 و اشتغل بدرسه ببغداد انتهى. و في وصية العلامة لولده التي في آخر القواعد ما يدل على أنه فرغ منه بعد ان بلغ الخمسين و دخل في عشر الستين فيكون عمره عند الفراغ منه 51 سنة فإذا كانت ولادته سنة 648 كان فراغه من تاليفه سنة 699 لا سنة 720(أعيان الشيعة ؛ ج5 ؛ ص404)
[2] جَبر (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.
جبر مقدماتی با حساب در استفاده از تجرید متفاوت اند. در جبر برخلاف حساب از تجریدهایی چون نمادهایی برای اعداد مجهول یا مقادیری که مجاز به اختیار کردن مقادیر مختلف اند، استفاده می گردد به عنوان مثال در x + 2 = 5 ، نماد x نامعلوم است، اما با اعمال معکوس های جمعی مقدار x = 3 برای آن پیدا می شود. در E = m c 2 ، نماد E و m متغیر اند، و نماد c ثابت سرعت نور در خلأ است. جبر روش هایی برای نوشتن فرمول‌ها و حل معادلات ارائه می کند که بسیار ساده تر و واضح تر از روش های قدیمی است که همه چیز را بر حسب کلمات و یا شکل‌ها می نوشتند.
واژه‌ی جبر کاربردهای تخصصی تر هم دارد. نوعی از اشیاء ریاضیاتی در جبر مجرد را «جبر» می‌نامند؛ به عنوان مثال در عنوان‌هایی مثل جبر خطی یا توپولوژی جبری. (سایت ویکی پدیا)
علم الجبر و المقابلة
و هو من فروع علم الحساب لانه علم يعرف فيه كيفية استخراج مجهولات عددية من معلومات مخصوصة على وجه مخصوص و معنى الجبر زيادة قدر ما نقص من الجملة المعادلة بالاستثناء في الجملة الاخرى ليتعادلا و معنى المقابلة اسقاط الزائد من احدى الجملتين للتعادل و بيانه انهم اصطلحوا على ان يجعلوا للمجهولات مراتب من نسبة تقتضى ذلك اولها العدد لانه به يتعين المطلوب المجهول باستخراجه من نسبة المجهول اليه و ثانيها الشىء لان كل مجهول فهو من حيث ابهامه شىء و هو ايضا جذر لما يلزم من تضعيفه في المرتبة الثانية و ثالثها المال و هو مربع مبهم فيخرج العمل المفروض الى معادلة بين مختلفين او اكثر من هذه الاجناس فيقابلون بعضها ببعض و يجبرون ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحا و يؤول الى الثلاثة التى عليها مدار الجبر و هى العدد و الشىء و المال. توضيحه ان كل عدد يضرب في نفسه يسمى بالنسبة الى حاصل ضربه في نفسه شيئا في هذا العلم و يفرض هناك كل مجهول يتصرف فيه شيئا ايضا و يسمى الحاصل من الضرب بالقياس الى العدد المذكور مالا في العلم فان كان في احد المتعادلين من الاجناس استثناء كما في قولنا عشرة الا شيئا يعدل اربعة اشياء فالجبر رفع الاستثناء بان يزاد مثل المستثنى على المستثنى منه فيجعل العشرة كاملة كانه يجبر نقصانها و يزاد مثل المستثنى على عديله كزيادة الشىء في المثال بعد جبر العشرة على اربعة اشياء حتى تصير خمسة و ان كان في الطرفين اجناس متماثلة فالمقابلة ان تنقص الاجناس من الطرفين بعدة واحدة. و قيل هى تقابل بعض الاشياء ببعض على المساواة كما في المثال المذكور اذا قوبلت العشرة بالخمسة على المساواة. و سمى العلم بهذين العملين علم الجبر و المقابلة لكثرة وقوعهما فيه و اكثر ما انتهت المعادلة عندهم الى ست مسائل لان المعادلة بين عدد و جذر اى شىء و مال مفردة او مركبة تجىء ستة. قال ابن خلدون و قد بلغنا ان بعض ائمة التعاليم من اهل المشرق انهى المعادلات الى اكثر من هذه الستة و بلغها الى فوق العشرين و استخرج لها كلها اعمالا وثيقة ببراهين هندسية انتهى.( كشف الظنون عن أسامي الكتب و الفنون، ج1، ص:۵٧٨-579)
جَبْر، یا جبر و مقابله یا حسابِ جبر و مقابله، شاخه‌ای از ریاضیاتِ دوران اسلامی که موضوع آن استخراج مجهولات از معلومات از راه حل معادلات و با استفاده از روشهای حسابی و هندسی و نیز روشهای خاص این علم است. همچنین این شاخه از ریاضیات به حساب چندجمله‌ایها نیز می‌پردازد. امروزه، در اثر تحولاتی که بهویژه از سدۀ ۱۹م/ ۱۳ق تاکنون رخ داده، واژۀ جبر بر یکی از علوم ریاضی اطلاق می‌شود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه، حلقه، هیئت،...) است و حل معادلات و حساب چندجمله‌ایها تنها بخش کوچکی از آن به‌شمار می‌آید. اما ما در این مقاله این واژه را به مفهومی که در دوران اسلامی داشته است، به کار خواهیم برد.
معنای واژه‌های جبر و مقابله
واژۀ «الجبر» (در فارسی: جبر) نخستین بار در عنوان المختصر فی حساب الجبر والمقابلة اثر محمد بن موسیٰ خوارزمی (ه م) به کار رفته، و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (نک : دنبالۀ مقاله) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algèbre در فرانسه) به زبانهای دیگر راه یافته است. این واژه در عربی به معنای شکسته‌بندی و جُبران است، اما خوارزمی آن را بر عمل افزودن جمله‌های مساوی بر دو سوی یک معادله، برای حذف جمله‌هـای منفـی، اطلاق مـی‌کند. واژۀ مقـابلـه ــ کـه آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می‌شود ــ به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است (مثلاً در این عبارت «فاِذا جبرتَ و قابلتَ...»، خوارزمی، محمدبن موسیٰ، ۴۰). نویسندگان آثار دائرة المعارفی، از جمله محمد بن احمد خوارزمی (د۳۸۷ق/ ۹۹۷م) (ص۲۰۰)، فخرالدین رازی (د۶۰۶ ق/ ۱۲۰۹م) (ص۳۹۳)، ابن اکفانی (ص ۹۰)، طاش‌کوپری‌زاده (۱/ ۳۲۷) و حاجی خلیفه (۱/ ۵۷۹) و غالب جبردانان پس از خوارزمی، از جمله کَرَجی (سدۀ ۴ق/ ۱۰م)، این واژه را به همین معنی به کار برده‌اند (بلوستا، 74).
ابوکامل (نیمۀ دوم سدۀ ۳ق/ ۹م) نیز مشتقات واژۀ جبر را به همین معنی به کار می‌برد. مثلاً برای حل معادلۀ ۸۰=۲۰x-۱۰۰ می‌گوید: «۱۰۰ درهم را با ۲۰ شیء جبر کن و آن را با ۸۰ جمع کن (فاجبر المائة درهم بالعشرین شیء وزدها بالثمانین)» تا به صورت ۱۰۰=۲۰x+۸۰ درآید ( الجبر...، ۴۹-۵۰ ، جم ، «طرائف...»، ۶۹: «فیجبَر فیقابَل»).
ابوریحان بیرونی در التفهیم، عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفۀ ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می‌کند (متن عربی، ص ۳۷، متن فارسی، ص ۴۸-۴۹) و در این تمثیل، بی‌آنکه به آن تصریح کند، به اصولِ
a = b ⇒ a + c = b + c
و
a = b ⇒ a - c = b - c
از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (نک : هیث، I/ 223) استناد می‌جوید. نصیر الدین طوسی (د ۶۷۲ ق/ ۱۲۷۳م) (جبر...، ۱۹-۲۰) و غیاث الدین جمشید کاشانی (د ۸۳۲ ق/ ۱۴۲۹م) (ص ۱۸۹-۱۹۰) و ابن غازی مکناسی (د ۹۱۹ق) (ص ۲۲۸) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده‌اند. با این حال، ابن بنّا (ه م)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده، در جای دیگری واژۀ جبر را «اصلاح» معنی می‌کند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلۀ ax=b می‌داند (ص ۵۶؛ نیز نک : قَلَصادی، ۱۵۱-۱۵۲). این کاربرد نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است، به نحوی با ریشۀ لغوی این کلمه ارتباط دارد. با این حال، شارح اثر ابن بنا، قلصادی، جبر را به همان معنای اصطلاحی به کار برده است (ص ۲۴۷). به این دلیلها، نظر صلیبا (نک : سراسر مقاله) که این واژه را مشتق از جَبَرَ به معنای «مجبور کرد» و «ناگزیر کرد» می‌داند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن» ریشۀ یک معادله می‌شمارد، پذیرفتنی نمی‌نماید. (سایت دائرة المعارف بزرگ اسلامی، مدخل جبر)
[3] قيل اول من صنف فيه الاستاذ ابو عبد اللّه محمد بن موسى الخوارزمى و كتابه فيه معروف مشهور. و صنف بعده ابو كامل شجاع بن اسلم كتابه الشامل و هو من احسن الكتب فيه و من احسن شروحه شرح القرشى( كشف الظنون عن أسامي الكتب و الفنون ؛ ج1 ؛ ص579)
و أول من كتب هذا الفن أبو عبد اللّه الخوارزمي و بعده أبو كامل شجاع بن أسلم و جاء الناس على أثره فيه و كتابه في مسائله الست من أحسن الكتب الموضوعة فيه و شرحه كثير من أهل الأندلس فأجادوا.
و من أحسن شروحه كتاب القرشي و قد بلغنا أن بعض أئمة التعاليم من أهل المشرق أنهى المعادلات إلى أكثر من هذه الستة الأجناس و بلغها إلى فوق العشرين و استخرج لها كلها أعمالا و اتبعه ببراهين هندسية و اللّه يزيد في الخلق ما يشاء سبحانه و تعالى انتهى.
قال الشيخ عمر بن إبراهيم الخيامي إن أحد المعاني التعليمية من الرياضي هو الجبر و المقابلة و فيه ما يحتاج إلى أصناف من المقدمات معتاصة جدا متعذر حلها أما المتقدمون فلم يصل إلينا منهم كلام فيها العلم لم يتفطنوا لها بعد الطلب و النظر أو لم يضطر البحث إلى النظر فيها و لم ينقل إلى لساننا كلامهم.
و أما المتأخر فقد عن لهم تحليل المقدمة استعملها أرشميدس في الرابعة من الثانية في الكرة و الأسطوانة بالجبر فنادى إلى كتاب و أموال و أعداد متعادلة فلم يتفق له حلها بعد أن أنكر فيها مليا فجزم بأنه ممتنع حتى تبعه أبو جعفر الخازن و حلها بالقطوع المخروطية ثم افتقر بعده جماعة من المهندسين إلى عدة أصناف منها فبعضهم حل البعض انتهى.
قال في مدينة العلوم و من الكتب المختصرة فيه نصاب الجبر لابن فلوس المارديني، و المفيد لابن المحلي الموصلي.
و من المتوسطة كتاب الظفر للطوسي.
و من المبسوطة جامع الأصول لابن المحلي و الكامل لأبي شجاع بن أسلم و برهن السّموك على مسائله بالبراهين العددية و الهندسية، و أرجوزة ابن الياسمين و شرحه مختصر نافع أورد فيه ما لا بد منه.
و من الرسائل الوافية بالمقصود رسالة شرف الدين محمد بن مسعود بن محمد المسعودي.( أبجد العلوم ؛ ج2 ؛ ص175-١٧۶)
پیشینۀ علم جبر
مسائلی که یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری از درجۀ اول و دوم، و گاه از درجات بالاتر و حتیٰ به حل دستگاهی از معادلات، منجر می شود، از گذشتۀ بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان ریشۀ این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ می‌رسانند (وان در وردن سراسر کتاب). مصریان باستان با دستورِ (الگوریتمِ) حل معادلات درجۀ اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود سال ۱۷۰۰ق‌م، نه تنها راه حل معادلات درجۀ اول و دوم را می‌شناختند (نویگباور، 40-42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتیٰ حالات خاصی از معادلات درجۀ هشتم، را حل می‌کردند (همو، 48). با این حال، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده، فقط مجموعه‌هایی از مسائل عددی است. راه حلها، هرچند در مورد معادلات درجۀ اول و دوم کلیت دارند، در مورد مسائل عددی خاص بیان می‌شوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمده‌اند و در مسائلی که درجۀ آنها از دو بیشتر است، دستورهای حل معادلات تنها در مورد مسائل خاص کاربرد دارند.
از عصر زرین ریاضیات یونانی (سده‌های ۵-۳ق‌م)، هیچ اثری در زمینۀ جبر به دست ما نرسیده است و می‌توان گفت كه اين علم در دوران يونانی شناخته نبوده است. علاقۀ ریاضیدانان یونانی به برهان دقیق، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه توجه ایشان را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است. نظريات فلسفی يونانيان دربارۀ تقسيم‌بندی كميات را می‌توان يكی ديگر از عواملی دانست كه راه را بر پيدايش علم جبر می‌بست. در فلسفۀ یونانی، به صورتی که در آثار ارسطو آمده است و تأثیر آن در آثار ریاضیدانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده می‌شود، کمیتها به دو دستۀ کاملاً متمایز تقسیم می‌شوند: ۱. اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است؛ ۲. مقادیر، که کمیات هندسی (طول و سطح و حجم) و زمان‌اند. در این تقسیم‌بندی مفهوم کلی «عدد حقیقی» (شامل اعداد گویا و گنگ) وجود ندارد، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت»هایی میان اعداد طبیعی تعریف می‌گردند و موجوداتی که امروزه عدد گُنگ نامیده می‌شوند، با پاره‌خط، و نسبت میان آنها با نسبت میان پاره‌خطها، نمایش داده می‌شود. با این حال، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (سدۀ ۳ق‌م) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف: ح ۳۰۰ق‌م) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده می‌کرده‌اند. اصطلاح «جبر هندسی» را نخستین بار ریاضیدان دانمارکی زویتِن در کتاب خود به نام «نظریۀ مقاطع مخروطی در دوران باستان» ابداع کرده است. زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پاره‌خطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته می‌شود (وان در وردن، 75).
هواداران نظریۀ جبر هندسی معتقدند که برخی از قضایای کتاب اصول اقلیدس بیان هندسی پاره‌ای از روابط و اتحادهای جبری است و برخی از ترسیمهای این کتاب در واقع صورت مبدل معادلات جبری‌اند (اونگارو، 389). مثلاً اگر در قضیۀ اول از مقالۀ دوم اصول (نک : هیث، I/ 375)، پاره‌خطها را با a و b و c و... نمایش دهیم، این قضیه خاصیت پخش‌پذیری جمع نسبت به ضرب، یعنی رابطۀ ...+a (b+c+...) = ab+ac را بیان می‌کند. همچنین اگر در قضیۀ چهارم از مقالۀ دوم اصول (همو، I/ 379) طول دو پاره‌خط را با نمادهای a و b نمایش دهیم، این قضیه با اتحاد جبری a+b)2 = a2+b2+2ab) معادل است. همچنین برخی از ترسیمات هندسی مقالۀ ششم کتاب اصول (همو، II/ 257-367) نیز، هرگاه به زبان نشانههای جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از درجۀ یک و دو منجر می‌شوند. اما چنین تعبیری مستلزم اعتقاد به آن است که هر طولی را می‌توان با عددی نمایش داد، در حالی که در سنت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش می‌دادند، معتقد نبودند که عکس این عمل هم مجاز است و در برابر هر طولی هم عددی وجود دارد. به اين دليل است كه اقليدس اين مسئله را از راه هندسی محض حل می‌كند.
به همین دلیل، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس، مساحت مستطیل هیچ گاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمی‌شود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگر سنجیده می‌شود. از این رو، هرچند آپولونیوس، در مخروطات، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی به نام نشانه بررسی می‌کند که به مفهوم امروزی معادلۀ مقطع مخروطی بسیار نزدیک است، با این حال، وی همواره نشانه را به صورت برابری دو سطح بیان می‌کند. بنا بر این، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین است مقالۀ دهم اصول، که بسیاری از قضایای پیچیدۀ آن، به زبان جبری، معادل با گویا کردن اعداد گُنگ است. با این حال، مسئلۀ جبر هندسی یونانی و بهویژه تعبیر مقالات «جبری» کتاب اصول اقلیدس، در میان مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است. گروهی از مورخان رياضيات مانند هيث و نويگباور و وان در وردن به وجود جبر هندسی يونانی باور دارند و حتیٰ مانند آندره وِی، رياضی‌دان بزرگ فرانسوی (۱۹۰۶-۱۹۸۸م/ ۱۲۸۵-۱۳۶۷ش)، معتقدند كه محتوای مقالات هفتم و هشتم و نهم اصول، «عمدتاً چيزی جز جبر (جبرِ حلقۀ اعداد صحيح) نيست» (وی، 448). گروهی ديگر كه بيشترشان به نسل جديدتری از مورخان رياضی تعلق دارند، كاربرد اين اصطلاح و حتیٰ سخن گفتن از وجود جبر در دورۀ يونانی را روا نمی‌دانند.
در این میان یک استثناء مهم وجود دارد و آن الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است (نک : مل ). موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست، اما احتمالاً در سدۀ ۳م تألیف شده (هیث، II/ 448)، «لوژیستیک یا شاخۀ محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده می‌شود» («زندگی‌نامه...، IV/ 111). در ریاضیات یونانی، «لوژیستیک» که مجموعه‌ای از فنون محاسبه بود، معمولاً در مقابل «فن حساب قرار می‌گرفت که دانشی بُرهانی محسوب می‌شد. الحساب در اصل در ۷ مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمۀ عربی ۴ مقالۀ دیگرِ آن در دست است (نک : مآخذ، دیوفانتوس، صناعة الجبر، نیز مل ، الحساب).
این کتاب مجموعه‌ای است از مسائل معین (معادلات یک‌مجهولی، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها به تعداد معادلات است)، و مسائل نامعین (سیال، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است. وی در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات، راه حل را عرضه می‌کند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را به دست می‌آورد و در این کار غالباً به تغییر هوشمندانۀ متغیرها و روشهای بدیع برای کاستن از درجۀ معادلات متوسل می‌شود («زندگی‌نامه»، همانجا). گذشته از این، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانههای مختصرنویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول) در کار او دیده می‌شود. همچنین، دیوفانتوس دو عمل را تعریف می‌کند که برای ساده کردن معادلات انجام می‌گیرند (وان در وردن، 98). یکی از این دو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله» نام می‌گیرد (EI2, II/ 361). با این حال، تفاوتهای میان اثر دیوفانتوس و خوارزمی به اندازه‌ای است که این دو کتاب را نمی‌توان متعلق به یک سنت دانست و اطلاق «جبر» بر محتوای اتر دیوفانتوس درست نیست (راشد، «خوارزمی...»، 61-64).
خوارزمی و پیدایش علم جبر: نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمد بن موسیٰ خوارزمی که به المختصر فی الحساب الجبر والمقابلة معروف است (هرچند کلمۀ «المختصر» در عنوان آن دیده نمی‌شود) و چنان‌که در کتاب آمده، در زمان خلافت مأمون (بین سالهای ۱۹۸-۲۱۸ق/ ۸۱۴-۸۳۳ م)تألیف شده است (ص ۱۵-۱۶). با اینکه خوارزمی تصریح می‌کند (ص ۱۶) که هدف او نوشتن کتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید ــ و بخشهایی از کتاب نیز به این گونه مسائل اختصاص دارد ــ اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است؛ زیرا در این کتاب است که جبر ــ به صورت علمی مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب، به معنای چهار عمل اصلی و اعمالی چون جذرگيری از اعداد صحيح و مثبت، و هندسه متمایز می‌کنند ــ متولد می‌شود. این امر از روشی كه خوارزمی در معرفی موجودات جبری به كار می‌برد پیدا ست.
خوارزمی از روی قیاس با اعداد يك‌رقمی و دورقمی در دستگاه دهگانی، موجوداتی را که در علم جبر به کار می‌رود، تعریف می‌کند. این موجودات عبارت‌اند از «شیء» (مقدار مجهول یا x) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب ۱۰) در یک عدد دورقمی ساخته می‌شود؛ «مال» (توان دوم مقدار مجهول یا x۲) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب ۱۰۲) در یک عدد صدگانی ساخته می‌شود، و عدد یا «درهم» (مقدار معلوم)، که متناظر است با ارقام ۱ تا ۹ در سلسلۀ اعداد دهگانی. به این ترتیب، موجودات جبری شکل تعمیم‌یافته‌ای از اعداد حسابی به نظر می‌آیند. سپس خوارزمی به تقسیم‌بندی معادلاتی می‌پردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصل می‌شود. به این طریق ۶ دسته معادله، از درجات اول و دوم، به دست می‌آید (همۀ اين اعمال به صورت لفظی بيان می‌شوند، نک : ه د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ):
ضریبهای a وb همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)اند. در نمونه‌هایی که خوارزمی ذکر می‌کند، همۀ ضرایب اعداد صحیح‌اند، اما چنان‌که خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتیٰ گُنگ را هم درنظر می‌گیرند.
این ۶ معادله، در واقع تمامیِ حالات معادلات درجۀ اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب، نشان می‌دهند. چنانچه معادله‌ای به غیر از یکی از این ۶ صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله»، یا با هردو عمل، به یکی از این ۶ صورت نرمال تبدیل می‌کنیم. همچنین هرگاه ضریب ۲x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمی‌آید.
از این معـادلات یکـی (شم ۱) از درجۀ اول و یکی دیگر (شم ۳) قابل تبدیل به معادلۀ درجۀ اول است و حل معادلۀ شمارۀ ۲ به استخراج جذر یک عدد منجر می‌شود. در مورد ۳ معادلۀ دیگر، خوارزمی دستورِ (الگوریتمِ) کلیِ حل معادله را به دست می‌دهد، منتها در مورد هر معادله این الگوریتم را با استفاده از یک مثال که آن را «باب» (الگو) می‌نامد، به کار می‌برد. به عنوان مثال، ريشۀ معادلۀ شمارۀ ۴ از رابطۀ
به دست می‌آيد. این معادله همواره یک جواب مثبت دارد. در مورد معادلات شمارۀ ۵ و شمارۀ ۶ روش خوارزمی اساساً یکسان است، جز اینکه در مورد معادلۀ x۲+a=bx قید می‌کند که معادله ممکن است دو جواب مثبت داشته باشد، یا جواب نداشته باشد.
جبر دوجمله‌ایها
بخش دیگری از کتاب خوارزمی که کمتر مورد توجه قرار گرفته، و با این حال، از لحاظ تحولِ علم جبر بسیار حائز اهمیت است، بخشی است که به بیان ۳ عمل اصلیِ جمع، تفریق و ضرب بر روی دو جمله‌ایها اختصاص دارد (ص ۲۷-۳۰). خوارزمی ابتدا به بیان قواعدی در مورد جمع و تفریق یک‌جمله‌ایها می‌پردازد. برای بیان قواعد ضربِ دوجمله‌ایها، وی هر دوجمله‌ای را به صورت یک عدد دورقمی در مبنای x در نظر می‌گیرد، و آنگاه قواعد ضرب دو عدد دورقمی در مبنای ۱۰ را دربارۀ این عدد دورقمی در مبنای به کار می‌برد (نک : ه د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ). این بخش از کار خوارزمی بعدها به دست کَرَجی و ریاضیدانان مکتب او توسعه یافت.(سایت دائرة المعارف بزرگ اسلامی، مدخل جبر)
دکتر حسن ضیائی‌نیا، استاد دانشکده فنی و حرفه‌ای منتظری مشهد، دانش‌آموخته فیزیک هسته‌ای و مسئول هیات داوران جشنواره خوارزمی در زمینه تأثیرپذیری علم جبر از فضای اسلام و فقه اسلامی می گوید: ریاضیات به همان مسیری ختم می‌شود که با فلسفه دین همسو است؛ در واقع ریاضیات مجموعه روش‌هایی است که با خرد ناب ایجاد شده و ابزاری برای درک حقایق هستی است. خداوند هستی را معماری کرده و این معماری خارج از قواعد خرد ناب نیست. شخصیت علمی بزرگان دین و کتاب آسمانی ما نیز این وحدت را نمایانگر است. به همین جهت لازم است در آموزش ریاضیات و علوم دیگر به این هدف متعالی توجه ضمنی داشت.
وی اظهار کرد: در واقع اگر دانشی نتواند ما را با حقیقت هستی آشنا کند، رسالت خویش را به فرجام نرسانده است. به عنوان مثال در معماری هستی حقایق هندسی پیچیده‌ای وجود دارد که در کیهانشناسی معاصر به آن پرداخته شده و رسالت بخشی از ریاضیات شناخت همین پیچیدگی‌ها و حقایق نهان در ذات هستی است.
اسلام؛ عامل توسعه ریاضیات
ضیایی‌نیا با اشاره به زمینه‌های پیشرفت علوم ریاضی در تاریخ تمدن اسلامی اظهار کرد: یکی از مهم‌ترین دلایل پیشرفت ریاضیات به معنای عام آن در تاریخ تمدن اسلامی، فقه و احکام دین اسلام است. در حقیقت اسلام و احکام آن موجب توسعه ریاضیات و علوم وابسته به آن شد. با نگاهی به کتب بزرگ ریاضیات پس از اسلام می‌توان دریافت که بسیاری از قواعدی که موجب بسط و توسعه ریاضیات شد، به احکام اسلامی مانند تجارت، ارث، تعیین اوقات شرعی قبله یابی و... بازمی گردد. به عنوان نمونه در زمینه ارث برخی معادلات به گونه ای بود که ریاضیات زمان از عهده پاسخ آن بر نمی آمد و به همین جهت فنون حل این نوع معادلات توسعه یافت.
استاد دانشگاه فنی و حرفه‌ای مشهد اضافه کرد: برای اثبات این مدعی کافی است نگاهی به مقدمه کتاب الجبر والمقابله محمد ابن موسی خوارزمی ریاضیدان معاصر امام رضا (ع) بیندازیم. خوارزمي در مقدمه رساله جبر ومقابله خويش پيرامون انگيزه اش در تدوين اين كتاب مي نويسد «مامون مرا تشويق كرده است اثري كوتاه درباره محاسبات به كمك جبر والمقابله تصنيف وآن را به ساده‌ترين و سودمندترين موارد در علم حساب محدود كنم، از آن قبيل كه مردمان مداوم در قضاياي ارث، وصايا، انحصار وراثت، دعاوي حقوقي، تجارت و در تمام داد و ستدهاي آنها با هم بدان‌ها نياز دارند يا هر جا كه اندازه‌گيري زمين، كندن آبراهه‌ها، محاسبات هندسي و ديگر مقاصد از هر نوع و هر قبيل كه مطمع نظر باشد».
ضیائی‌نیا اضافه کرد: نمونه دیگر، تعیین زمان برای نماز گزاردن در اقلیم‌های مختلف بود. این امر نیازمند رصد حرکات خورشید بود که احتیاج به ریاضیات ، مثلثات و هندسه را توجیه می کند. همچنین پیدا کردن موقعیت قبله امری است که در اقلیم های مختلف به مساحی و نقشه کشی نیاز دارد. به طور کلی شرع اسلام در زمینه‌های مختلفی مانند ارث، تجارت، جهت یابی، مواقیت خاص و... به گونه ای است که نیازمند ریاضیات بود و دانشمندان بزرگ آن زمان به ریاضیات به این دلیل پرداختند که فقه و شرع به درستی اجرا شود. هنگامی که این مسایل برطرف می‌شد، هر باب از علم ریاضی باب‌های دیگری را می‌گشود و مسایل جدیدی را ایجاد می کرد.
وی تاکید کرد: در حقیقت این ذات قوانین شرع مبین اسلام است که موجب توسعه علوم گردید.(سایت ایکنا، گفتگو با محور ریاضی؛ ابزاری برای درک حقایق هستی)
مقصود ایشان از مقدمه کتاب این عبارت است: الفت من کتاب الجبر و المقابلة کتاباً مختصراً حاصراً للطیف الحساب و جلیله لما یلزم الناس من الحاجة الیه فی مواریثهم و وصایاهم و فی مقاسمتهم و احکامهم و تجاراتهم و فی جمیع ما یتعاملون به بینهم من مساحة الارضین و کری الانهار و الهندسة و غیر ذلک من وجوهه و فنونه(کتاب الجبر و المقابلة، ص ١۶)
ادامه عبارت او نیز جالب توجه و حاکی از فهم عمیق اوست:
و انی لما نظرت فی ما یحتاج الیه الناس من الحساب وجدت جمیع ذلک عدداً و وجدت جمیع الاعداد انما ترکبت من الواحد و الواحد داخل فی جمیع الاعداد، و وجدت جمیع ما یلفظ به من الاعداد ما جاوز الواحد الی العشره یخرج مخرج الواحد ثم تثنی العشرة و تثلث کما فعل بالواحد فتکون منها العشرون و الثلاثون الی تمام المائة، ثم تثنی المائة و تثلث کما فعل بالواحد و بالعشرة الی الالف ثم کذلک تردد الالف عند کل عقد الی غایة المدرک من العدد(همان)
[4] (يب): يجوز استثناء الجزء المعلوم في أحد العوضين، فيكون الآخر في مقابلة الباقي. فلو قال: بعتك هذه السلعة بأربعة إلّا ما يساوي واحدا بسعر اليوم قال الشيخ : يبطل مطلقا للجهالة، و الوجه ذلك، إلّا أن يعلما بسعر اليوم. و لو قال: إلّا ما يخصّ واحدا قال : يصحّ في ثلاثة أرباعها بجميع الثمن، و الأقرب عندي البطلان، لثبوت الدور المفضي إلى الجهالة، فإن علماه بالجبر و المقابلة أو غيرهما صحّ البيع في أربعة أخماسها بجميع الثمن.
و لو باعه بعشرة و ثلث الثمن فهو خمسة عشر، لأنّ الثمن شي‌ء يعدل عشرة و ثلث شي‌ء، فالعشرة تعدل ثلثي الثمن. و لو قال: و ربع الثمن فهو ثلاثة عشر و ثلث. و لو قال: إلّا ثلث الثمن فهو سبعة و نصف.( قواعد الأحكام في معرفة الحلال و الحرام؛ ج2، ص: 27)
مفتاح الکرامه به تناسب توضیح این مطلب، وارد بیان اصطلاحات اختصاصی علم جبر شده است و می فرماید:
أمّا الجبر فلا بدّ- قبل بيان تحصيل العلم- من معرفة معناه و معنى المقابلة و معنى المعادلة و بيان اصطلاحات في المقام.
فالجبر عبارة عن تكميل الناقص و عن الزيادة على المقابل، ففي مثالنا هذا السلعة إلّا شيئا تعدل أربعة أشياء، فالجبر أن تكمل السلعة و تسقط الاستثناء فتصير السلعة تامّة، و تزيد مثل ذلك الشي‌ء الّذي تمّمنا به السلعة على معادلها الّذي هو الأربعة أشياء، فتصير الأربعة أشياء أربعة و شيئا و السلعة تمامه، و هذا العمل كلّه يسمّى جبرا.
و أمّا المقابلة فهي إسقاط الأجناس المتجانسة في الطرفين لتحصل المعادلة.
و لنوضح ذلك في عنوان المثال، فنقول مثلا: شيئان و عشرة تعادل أربعين فتسقط العشرة من كلّ واحد من المتعادلين يبقى في الأوّل شيئان و في الثاني ثلاثون و هو معنى المقابلة، فإذا حصلت المقابلة حصلت المعادلة و هي إمّا بين جنس و جنس و هي ثلاث مسائل، لأنّ الأجناس في الجبر و المقابلة محصورة في ثلاثة أشياء:
و هي الشي‌ء و المال و العدد. فالمسألة الاولى عدد يعدل شيئا، و الثانية أشياء تعدل أموالا، الثالثة أموال تعدل عددا. و إمّا بين جنس و جنسين و هي ثلاثة أيضا:
الاولى عدد يعدل أشياء و أموالا، الثانية أشياء تعدل أموالا و أعدادا، الثالثة أموال تعدل عدد أو أشياء.
و هذه الستّ هي الجبريات الّتي انتهت إليها أفكار القدماء، و إن كان الجمشيدي زاد نيفا و تسعين، و بهذا قيل: إنّه إمام أهل الحساب، و هذا حديث إجمالي و العمل و التفصيل موكول إلى فنّه.
و أمّا بيان الاصطلاحات الّتي يتوقّف عليها الجبر و المقابلة فهو أنّ المجهول معرفته يسمّى شيئا، و إذا ضربنا الشي‌ء في الشي‌ء يسمّى الحاصل مالا، و إذا ضربناه في المال سمّيناه كعبا، و إذا ضربناه في الكعب سمّيناه مال المال، و إذا ضربناه في مال المال سمّيناه مال الكعب، و في مال الكعب سمّيناه كعب الكعب، و هكذا، فتاسع المراتب كعب كعب الكعب، و الكلّ متناسبة صعودا و نزولا، فنسبة مال المال إلى الكعب كنسبة الكعب إلى المال و المال إلى الشي‌ء و الشي‌ء إلى الواحد و الواحد إلى جزء الشي‌ء و جزء الشي‌ء إلى جزء المال و هكذا(مفتاح الكرامة في شرح قواعد العلامة (ط - الحديثة)؛ ج13، ص: 24٩-٢۵١)
برای بررسی تفصیلی این مبحث نیز به پیوست شماره ١٠ مقاله بایستگی های حوزوی در عصر حاضر مراجعه فرمایید.
[5] جلسه خارج فقه، مبحث رؤیت هلال، تاریخ ۵/ ١١/ ١۴٠٠
برای بررسی تفصیلی جایگاه ریاضیات در علوم حوزوی به مقاله «جایگاه ریاضیات در نظام آموزشی حوزه های علمیه» مراجعه فرمایید.