انواع نسبت
ما یک نسبت به معنای مطلق رابطه داریم،یک نسبت و رابطه داریم که فوق و ورای مقولات است؛
١. نسبت عامّ نفس الامری
«مطلق رابطه». رابطه نفس الامری بین هر چیز و هر چیز می آید. بین کم و کیف می آید .بین جوهر و عرض می آید.این را هم ما اسمش را می گذاریم «نسبت و رابطه به معنای عام نفس الامری». خودش از لحاظ تحلیل مباحث بسیار ظریفی دارد و یکی از براهینی هم که در آن مقاله عرض کردم[1] برهان فرارابطه است. آنجا که عرض کردم «فرارابطه»، یعنی این رابطه؛ رابطه عام نفس الامری که ورای مقولات عشر است. اجناس عالیه بینشان می تواند رابطه می تواند برقرار باشد.رابطه نفس الامری که ما به الاشتراک ذاتی، دو تا جنس الاجناس ندارند.مثلا کم با کیف هردو جنس الاجناسند ما به الاشتراک در جنس ندارند.ما به الاشتراک ذاتی ندارند اما یک نحو اشتراکاتی نفس الامریِ وراء مقوله و ماهیت دارند. علی ای حال می بینیم یک نحو اشتراک دارند.هر دو در وصف امکان اشتراک دارند.ممکن الوجودند.کم ممکن الوجود است کیف هم ممکن الوجود است.در این وصف اشتراک دارند.بگویید امکان که جنس و ذاتی نیست، نباشد سلّمنا؛ ولی خلاصه یک رابطه اشتراکی بینشان هست.این رابطه به معنای عام را کنار بگذارید.
٢.نسبت مقولی
یک نسبت دیگر داریم که نسبت مقولی است. یعنی در مقولات عشر هفت تا عرض داریم که به آن ها می گوییم: «اعراض نسبیه و مقولات نسبیه» این جا هم نسبت به کار می بریم. این نسبت دیگر در کم و کیف و جوهر نیست. فقط در هفت تا عرض است. این هفت تا مقوله نسبی در بدایة و نهایة و جوهر النضید و... بحثش شده است.آن هم باز مقصود ما نیست. اصلا بیرون از کم است.هفت تا مقوله نسبی بیرون از کم است.آن را هم بگذاریدش کنار.
٣. نسبت در ریاضیات
بیایید وارد شوید درخصوص مقوله کم. وقتی وارد مقوله کم می شوید حالا در دل مقوله کم یک نسبت داریم.یعنی در عالم ریاضیات یک نسبت داریم خاصّ خود کم. نسبتی که بین مقادیر مطرح است؛ نه نسبت بین دو تا جوهر یا نسبت بین زمان و مکان و جِده و این ها. نه درست در مقوله کم، این نسبت مطرح است. سرو کار ما الان با این نسبت است. همان نسبتی که گفتم او را عمل تقسیم آورده است.عمل، خیلی نقش دارد.عمل تقسیم، بازگشت ضرب است. این عمل تقسیم باعث شده که در فضای مقادیر فقط نسبت مطرح شود. پس شما هر وقت در ریاضیات می گویید: «نسبت این مقدار با آن مقدار» اصلاً ذهنتان نباید برود به نسبت مقولات نسبیه یا نسبتی که به معنای رابطه نفس الامری عمومی است، خصوصا در عالم مقدار.
بازگشت عمل ضرب
خب این نسبتی که در عالم مقدار است یعنی چه؟یعنی بازگشت عمل ضرب.اگر یک مقداری در مقدار دیگر ضرب شود نسبت حاصل ضرب به یکی از این دو تا عامل های ضرب، می شود تقسیم. اسم این تقسیم را ما می گذاریم «نسبت». و لذا اگر می گویید نسبت شش به دو می گویید چند می شود؟ می شود سه.یعنی خارج قسمت، ضرب در مخرج مساوی با صورت.(خارج قسمت×مخرج=صورت)سه دو تا شش تا.صورت همیشه دارد تقسیم می شود مقسوم است. مخرج، مقسوم علیه است.کسر شش دو تا مساوی سه، آن سه خارج قسمت است که عمل ضرب را برعکسش کرده ایم این خیلی روشن است.
این عمل تقسیم آمد پیاده شد در مقادیر کم منفصل که عدد است و مقادیر کم متصل قار که هندسه است.حالا این بحران و این ها از کجا آمد؟
علی ای حال فضای ریاضیات وقتی دست به دست هم داد و این نسبت به عنوان یک عنصر ریاضی بسیار پرکاربرد و تناسب-گریز بزنم.ببخشید، 5 6 تا فصل است خلاصه الحساب 6 تا است؟ یادم نیست.یکی از فصل های خوبش، الاربعه المتناسبه است.الاربعه المتناسبه، تناسبی است که خودمان می گوییم.همه با آن انس دارند در کتاب ها.a به b مساوی با c به d
یا a به b مساوی با b به c که این را می گوییم میانگین هندسی.
ميانگین هندسی؛میانگین حسابی
میانگین ها بحث های خیلی خوبی دارد.میانگین حسابی همان معدل گیری است که می گویند معدلت چه قدر شد.چند تا عنصر را با هم جمع می کنیم به تعداد آن ها تقسیم می کنیم بر تعدادش.اما میانگین هندسی مربعی است که واسطه بین این هاست.نسبت a به b برابر است با نسبت b به c.یعنی a به c، آ ضرب در c مساوی با b ضرب درb
b (a*c=b*b)ب به توان دو که می شود مربع.این مربع b،b به توان دو را می گویند واسطه هندسی.چون ضربش هم به توان دوست.خلاصه واسطه ها انواع میانگین از بحث های خوب ریاضی است.در چنین فضایی حالا تناسب مطرح شده بود. الاربعه المتناسبه در خلاصه الحساب.
حالا بحران از کجا پیش آمد?برای این که ببینید بحران از کجا پیش آمد من یک مقدمه عرض می کنم.ببینید شما مثلا یک ستونی دارید در ساختمان.یک خودکاری هم دارید کنار دستتان گذاشته.اگر بگوییم که این ستون را مثلا به هفت قسمت مساوی تقسیم کنید بلند می شوید با فرض خودمان به هر وسیله ای به هفت قسمت مساوی این ستون را تقسیم می کنید.بعد می گوییم خودکار هم دستتان است این را هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنید.خودکار تقسیم شد به سه قسمت مساوی آن هم آن ستون بلند به هفت قسمت مساوی تقسیم شد.حالا بگویید خب آن هفت این هم سه پس نسبت ستون به خودکاری که دست شماست هفت است به سه.درست حرف زدیم؟آن را تقسیم کردیم به هفت قسمت مساوی این را هم تقسیم کردیم به سه قسمت مساوی.پس نسبت هفت است به سه.درست گفتیم؟
شاگرد:نه
استاد:چرا نه؟
شاگرد:چون قسمت هایش فرق می کند.
استاد:چیزی را که تقسیم می کنند واحدهایش باید برابر باشند.عادّ مشترک داشته باشند.بله اگر بیایید خود این خودکار را شروع کنید روی ستون بغلطانید ببینید چند خودکار است؟ بعد می گویید من این خودکار را که روی ستون بردم دیدم تعداد دفعاتش مثلا شد 15تا حالا خوب شد.می گویید نسبت ستون به خودکار نسبت ۱۵ است به یک.اینجا نسبت ۱۵ است به یک .آنجا اشتباه کردید که گفتید نسبت هفت است به سه.چون هفت و سه آن واحد در سه خودکار واحدهایی است که آن را تقسیم کردیم.واحدهای در تقسیم ستون به هفت واحدهای مختلف است با این.غلط است که این دو تا را با هم بسنجیم.وقتی می توانید بگویید نسبت که یک عادّی هر دو را بشمارد.و لذا وقتی خودکار ستون را شمرد، پانزده تا حالا خوب است می گویید نسبت ستون به خودکار نسبت ۱۵ است به یک.نسبت خودکار به ستون نسبت یک است به۱۵.
حالا آمد و خودکار را گرداندید و رفتید شد ۱۵.۵ .یعنی یک خرده ستون بلندتر است از ۱۵ تا ولی شانزده هم نیستاین جا باید چه کار کنیم؟الان راه چیست؟می خواهیم نسبت برقرار کنیم.نسبت این ستون با خودکار چند است؟15 که نشد چون بیشتر دارد.۱۶ هم نشد چون باز ستون کم می آوریم.این جا مجبور هستیم واحد عاد را کوچکش کنیم.مثلااگر 15.5 است از این خودکار واحد را ۳۰ میگیریم.نصف خودکار را می گیریم واحد.حالا می گوییم کل این ستون ۳۰.
شاگرد: ۳۱
استاد نه کل ستون
شاگرد: پانزده و نیم بوده می شود ۳۱
شاگرد ٢: می شود ۳۰ و نیم.۱۵ تا می شود سی تا نیم یک نیم درست است؟یک دانه نیم هم بود می شود سی و نیم بله درست است.۳۱
استاد:الان می خواهم بگویم آن 15 تایی که اول بود الان شد سی تا.یعنی نصف او کاره شد.حالا با نصف خودکار می رویم جلو وقتی رسیدیم به 15 چند تا نیم داریم؟سی تا آن باقی مانده اش هم نیم است می شود یک.می شود سی و یک.بعد می گوییم نسبت ستون به خودکار سی و یک به دو.دو چون الان خودکار را دوتایش کرده ایم.حالا آمده ایم و به جای این که آخر کار رسیدیم خودکار نصفش باشد ثلثش بود.یعنی 15 تا که بود،خب اینجا مجبوریم مخرج را وسیع تر بگیریم.عاد را کوچک می کنیم.حالا آمدیم باز کمتر شد این واسطه،خلاصه می رویم در دل اعداد تا برسیم به یک واحد خیلی کوچکی که می گوییم مثلاً این چند ملیون-از میلی متر هم برویم جلوتر-یک صدم میلی متر عادّ واحد شد.عاد واحدی که این ها را می شمارد.پس ستون نسبتش به این، فقط خودکار و عددش رفته بالا.همان طوری که آن جا یک شد دو می گوییم مثلا نسبت ستون به این خودکار نسبت 50 ملیون است به مثلا هزار.چون عاد ما کوچک شد ولی علی ای حال نسبت برقرار است.
نسبت متجانسِ متباین
خب این که الان ذهن شریفتان آماده شده من این مقدمه را به آن ضمیمه کنم.در عالم مقادیر که می خواهیم تقسیم کنیم اگر دو تا مقدار نامتجانس باشد نسبت برقرار نمی شود مثل سایر موارد.شما بین شیرینی با سیاهی نمی توانید نسبت برقرار کنید.متجانس نیستند. نسبت شیرینی به سیاهی چیست؟نسبتی ندارند غیر از آن نسبت عامی که الان تقسیم بندی کردیم.نسبتی ندارند چون متجانس نیستند در این فضای ما.بله می توانید بالعرض نسبت برقرار کنید.بگویید مثلا سیاهی چند درجه دارد شیرینی هم چند درجه دارد.این سیاهیش بیست درجه است آن ده درجه است.می گوییم نسبت بیست است به ده.این خود عدد را بالعرض مشترک فرض گرفتید بین دو چیزی که با هم تشارک ندارند.علی ای حال طرفین نسبت باید با هم متجانس باشند تا بتوانید بین این دو تا نسبت برقرار کنید.پس بین خط با سطح بین سطح با جسم تعلیمی با حجم نسبت برقرار نمی شود.همیشه بین دو تا خط نسبت برقرار می شود بین دو تا سطح نسبت برقرار می شود.نمی شود بگویند نسبت این خط به آن سطح چیست؟نسبتی ندارند.چون متجانس نیستند.این هم یک نکته خوب.
خب الان می آییم این جا ستونی که طول بود به عنوان یک خط با خودکاری که باز به عنوان یک خط طول بود متجانسند یا متجانس نیستند؟متجانسند لذا به راحتی بینشان نسبت برقرار کردیم با عاد مشترک.اما اگر نامتجانس باشند این عادی را که الان دنبالش هستیم ندارد.شما می گویید این خط چندتاست؟می گویید مثلا 5 سانتی متر.آن مربع چند تاست؟می گویید مثلا 7سانتی متر مربع.واحد این، مربع است واحد آن، طول است.عاد مشترک ندارند که بخواهد آن تقسیم بر این شود.در چنین فضایی دو تا خط عاد مشترک دارند.از عجایب کاری که اینجا کشف شد و بحران اول را صورت داد این بود.ارتکازاً همه ریاضیدان ها می گفتند خلاصه وقتی ما دو تا خط مستقیم داریم نسبت بین خط کوچک تر و بزرگ تر و کوچک تر و بزرگ تر برقرار می شود.به چه معنا؟یعنی خلاصه می رویم تا به یک عاد کوچک بسیار ریز می رسیم که بزرگ تری را ملیون ها بار می شمرد کوچک تری را هزارها بار.باورشان نمی شد که ما می توانیم دو تا خط مستقیم داشته باشیم پاره خط.این دو تا متجانسند چون هردو خط مساویند اما متباییند.
[1] اشاره به مقاله «سه برهان تنبیهی بر مبرهن البرهان»