خـلاصـه تفصیـلی
قاعده چهارم: ضرب اعداد بین ۱۰ و ۲۰
قاعده چهارم به ضرب اعداد بین ۱۰ تا ۲۰ اختصاص دارد.
روش اجرا:
۱. جمع: آحاد (رقم یکان) یکی از دو عدد را به مجموع (کل) عدد دیگر اضافه کنید (تزید احاد احدهما علی مجموع الآخر).
۲. بسط عشرات: عدد حاصل از این جمع را در ۱۰ ضرب کنید (تبسط المجتمع عشرات).
۲. افزودن حاصلضرب آحاد: حاصلضرب آحاد دو عدد را به نتیجه مرحله قبل اضافه کنید (تضیف الیه مضروب الاحاد فی الاحاد).
مثال: برای محاسبه (١٣×١٢) :
-
۲ (آحاد ۱۲) به اضافه ۱۳ میشود ۱۵.
-
۱۵ در ۱۰ ضرب میشود و حاصل ۱۵۰ است.
-
حاصلضرب آحاد (٣×٢) که ۶ است به ۱۵۰ اضافه میشود، که نتیجه نهایی ۱۵۶ خواهد بود.
ارتباط با سایر قواعد: این قاعده مشابه همان فرمول بیان شده برای قاعده دوم است. در واقع، قاعده چهارم چون هر دو عدد (مثلاً ۱۲ و ۱۳) بالای ۱۰ هستند، شبیه به آن دو عددی میشود که زیر ۱۰ بودند (قاعده دوم)، و قابلیت بازگشت به قاعده اول را دارد.
قاعده پنجم: ضرب در ۵، ۵۰، یا ۵۰۰
قاعده پنجم روشی آسان برای ضرب هر عددی در ۵، ۵۰، یا ۵۰۰ ارائه میدهد.
روش اجرا:
۱. نصف کردن: نصف (نصف همان عدد) عدد مورد نظر را محاسبه کنید.
۲. ضرب در ۱۰، ۱۰۰ یا ۱۰۰۰: اگر در ۵ ضرب کردید، نصف عدد را در ۱۰؛ اگر در ۵۰ ضرب کردید، در ۱۰۰؛ و اگر در ۵۰۰ ضرب کردید، در ۱۰۰۰ ضرب نمایید.
نحوه برخورد با اعداد فرد (کسر): اگر عدد مورد نظر فرد باشد (مانند ۱۵) و نصف آن شامل کسر (مانند نیم) شود، باید برای کسر، نصف ضریبی را که برای قسمت صحیح گرفته شده است، اضافه کرد (و خذ للکسر نصف ما اخذت للصحیح).
مثالها:
-
عدد زوج (۵×١۶): نصف ۱۶ میشود ۸. ۸ را در ۱۰ ضرب میکنیم، حاصل ۸۰ است.
-
عدد فرد (۵×١۵): نصف ۱۵ میشود ۷.۵. قسمت صحیح (۷) را در ۱۰ ضرب میکنیم: ۷۰. چون از ضریب ۱۰ استفاده شده، نصف آن یعنی ۵ را به کسر اختصاص میدهیم، لذا (٧۵=۵+٧٠).
راز قاعده پنجم (تحلیل جبری): این قاعده مبتنی بر فاکتورگیری است تا ضرب در ۵ را به ضرب در ۱۰ تبدیل کند، چرا که ضرب در ۱۰ آسانتر است. برای مثال، در (۵×١۶): میتوان ۱۶ را به صورت (۸ + ۸) نوشت. بنابراین، (۵×١۶) میشود {(۵×٨) + (۵×٨)}. با فاکتورگیری عدد ۸، به عبارت {(۵+۵) × ٨} میرسیم که نتیجه آن (١٠×٨) است. نکته کلیدی این است که نصف عدد (در این مثال ۸) را به عنوان عامل مشترک (ضریب) قرار دهیم تا دو عدد ۵ جمع شده و ۱۰ را تشکیل دهند.
بحث پیرامون تقدم عملیات و پرانتز
بخش قابل توجهی از جلسه به بحث در مورد نحوه نوشتار عبارات جبری و تقدم عملگرها اختصاص دارد.
اولویت عملگرها: اصل ریاضی این است که عملگرهای ضرب و تقسیم اولویت بالاتری نسبت به جمع و تفریق دارند. به این معنی که ابتدا ضربها انجام میشود و سپس جمع و تفریق.
نقش پرانتز: پرانتزها معمولاً برای تغییر اولویتها یا اطمینان از انجام یک عمل خاص قبل از سایر عملیات استفاده میشوند. اگر یک عبارت مرکب (مانند ٧-١٠) قرار است در عددی ضرب شود، نیاز به پرانتز است تا از اعمال صرفاً تفریق یا ضرب عملگرها جلوگیری شود.
اختلاف نظر در نوشتار: در این گفتگو، بحث بر سر این بود که آیا در نوشتار، وقتی اولویت ضرب مشخص است، میتوان از قرار دادن پرانتز صرف نظر کرد یا خیر.
ماشین حسابها: در مورد ماشین حسابها، اشاره شد که بسیاری از آنها حالت "مفسر" دارند و عملیات را گام به گام انجام میدهند، نه اینکه کل عبارت را مانند "کامپایلر" یکجا تحلیل کرده و اولویتها را لحاظ کنند. اگرچه ماشین حسابهای مهندسی پیشرفتهتر ممکن است اولویتها را نیز رعایت کنند.
نتیجهگیری کلی: هدف اصلی این قواعد ریاضی، برگرداندن محاسبات به ضرب در اعداد ۱۰ (یا توانهای ۱۰) است، زیرا این آسانترین نوع ضرب محسوب میشود.