نحوه شکل‌گیری بیضی، هذلولی و قطع مکافی (شلجمی) در مخروط

5:52

این قطع مکافئ در اینجا هم همین‌طور است؛ شما دو جور می‌توانید مخروط را پدید بیاورید. یکی این‌که بر ضلع قائم مثلث قائمه الزاویه دور بزنید، این یک مخروط است. یا این‌که روی یک خطی نقطه‌ای را فرض بگیرید، با محوریت مرکز آن نقطه که خطی اُریب را فرض بگیرید و آن را یک دور بدهید، به این خط مولد می‌گوییم. وقتی مولد مخروط، مثلث باشد و آن را دوران بدهید، به این وتر مخروط می‌گویند، چون در این مثلث، وتر بود که دور زد و آن را پدید آورد. اما آن جا که وسط یک خط نقطه بگذارید و آن را دور بدهید، دو مخروطی که سرشان به هم است پدید می‌آید؛ در مقاطع مخروطی نیاز به دو مخروط داریم که سرهای آن‌ها به هم مماس است، به این خط، خط مولّد می‌گوییم.

شاگرد: خط مولّد دو مخروط می‌سازد؟

استاد: بله، اولی یکی می‌سازد. یک مثلث است که آن را دور می‌دهید، با وتر خودش یک مخروط می‌سازد. اما در خط مولّد دو مخروط می‌سازد.

خب قطع مکافئ چیست؟ وقتی یک سطحی را به موازی وتر یا خط مولد از مخروط عبور بدهید، سهمی و شلجمی و قطع مکافئ پدید می‌آید. مکافئ آن برای این است که چون قطع ناقص، قطع زائد هم داریم. زائد و ناقص مربوط به خروج از مرکز است. خروج از مرکز در دایره، صفر است. یعنی وقتی منحنی‌ها را دسته‌بندی می‌کنید، انحناء دایره طوری است که هر چه جلو می‌رود، فاصله آن از مرکز سر سوزنی زیادتر نمی‌شود. شعاع دایره در همه جا برابر است. لذا می‌گویند خروج از مرکز در دایره صفر است.

اما اگر خروج از مرکز در یک منحنی، زیر یک باشد به آن قطع ناقص و بیضی می‌گویند. اگر خروج از مرکز آن مساوی با یک باشد، به آن قطع مکافئ می‌گویند؛ یعنی مساوی با یک است. اگر بیش از یک باشد، به آن هذلولی می‌گویند. هذلولی قطع زائد است. اگر خط از انحناء مستقیم شود، نسبت، بی‌نهایت می‌شود؛ نسبت به خط دلیل که سنجیده می‌شود بی‌نهایت می‌شود.

الآن عرب ها تعبیر قطع مکافئ را زیاد به کار می‌برند. در رفنس ها اگر ببینید هست. چون زیاد کاربرد داشت من این را در جزوه آوردم تا بعداً کسانی که جزوه را می‌بینند آشنا باشند و هم شلجمی و هم قطع مکافئ را داشته باشند.

شاگرد: خط مولد یک مخروط بالا می‌سازد و یک مخروط پایین می‌سازد؟

استاد: بله، چون روی آن یک نقطه و یک زاویه فرض می‌گیریم، بدون این‌که زاویه را تغییر بدهید یک دور می‌زنید. بعد آن را برش می‌دهید. اول با دورانش شکلی را پدید می‌آورید و بعد با عبور دادن یک سطح مستقیم از جاهای مختلف آن، مخروط‌های مختلفی ایجاد می‌شود. مثلاً در هذلولی سطح شما به موازات عمود مخروط رد می‌شود. همان مخروط قائم. این هذلولی می‌شود. مکافئ به موازات وتر آن رسم می‌شود. دائره به موازات قاعده مخروط رسم می‌شود. بیضی هیچ‌کدام است، بیضی نه موازی قاعده است و نه موازی وتر است، و نه موازی عمود است. لذا سنگین‌ترین بحث هندسی همین بیضی است.

البته این را عرض بکنم؛ من ندیدم اهل فن برای نقشه‌هایی که امروزه هست، تعبیر شلجمی را به کار ببرند. کار طلبگی است. در معرض مسامحه و خطا هست. یک وقتی است که می‌گوییم اهل فن می‌گویند، یک وقتی است که می‌گوییم من این را به کار می‌برم. شکل سهمی، که در اینجا به کار می‌بریم، من این‌گونه می‌گویم. در جایی برخورد نکردم. اگر در تطبیق مسامحه دارد شما بفرمایید. یا این‌که اگر دیگران هم در جایی به کار برده‌اند شما بفرمایید. نمی‌دانم اهل فن به این شکل چه می‌گویند. مانعی ندارد به آن نقشه جهانی بگویند. خود سهمی‌ای که با آن کار داریم و می‌خواهیم رأس سهمی را معین کنیم، نمی‌دانم اهل نجوم به آن چه می‌گویند.

شاگرد: یعنی اصطلاح خاص داشته باشند یا اصطلاح هندسی داشته باشند؟

استاد: بعید است داشته باشند. یک‌دفعه به ذهنم آمد که عرض کنم این‌طور نیست که به‌عنوان تسمیه بروید به‌دنبال آن بگردید.