مقدمه: بحران‌های ریاضی؛ معضلات ریاضی

[1]یکی از بحران هایی که در فضای ریاضیات در قرن بیستم پیش آمد، پیدا شدن نظریه مجموعه‌ها^[2] و به تبع آن بحران هایی بود که در این نظریه پیدا شد[3]

۱.  معضلات ریاضی

( بحران غیر از «مسائل حل نشده» و مسائل مشکل است؛ یعنی چیزی که اساس علم را به هم می‌ریخت؛ یکی همان قضیه فیثاغورث است که خطإ قطر مثلث با ضلع مباین است و به یک عدد گنگ می‌رسیم. مهمترین مفهوم حساب تناسب بود و با یک زحمتی با این بحران مواجه شدند.)

[شیخ بهایی در کتاب خلاصه الحسابشان یک خاتمه ای دارند خیلی جالب:

قد وقع للحكماء الراسخين في هذا الفن مسائل صرفوا في حلّها افكارهم و وجّهوا الي استخراجها انظارهم و توصّلوا الي كشف نقابها بكل حيلة و توسّلوا الي رفع حجابها بكل وسيله فما استطاعوا اليها سبيلا و لا وجدوا عليها مرشدا و دليلا فهى باقية علي عدم الإنحلال من قديم الزمان و مستصعبة علي سائر الاذهان الي هذا الآن، و قد ذكر علماء هذا الفنّ بعضها في مصنّفاتهم و أوردوا شطراً منها في مؤلّفاتهم تحقيقاً لإشتمال هذا الفن علي المستصعبات الآبيات و إقحاماً لمن يدّعى عدم العجز في الحسابيات و تحذيراً للمحاسبين من التزام الجواب عمّا يورد عليهم منها و حثاً لأصحاب الطباع الوقادة علي حلّها و الكشف عنها، و أنا أورد في هذه الرّسالة سبعة منها علي سبيل الأنموزج اقتداءً بمنارهم و اقتفاءً لآثارهم، و هى هذه:

الأولى: عشرة مقسومة بقسمين إذا زيد علي كلّ جذره و ضرب المجتمع فى المجتمع حصل عدد مفروض.

الثانية: مجذورإن زدنا عليه عشرة كان المجتمع جذرا و نقصناها منه كان للباقي جذراً.

الثالثة:أقرّ لزيد بعشرة الا جذر ما لعمرو و لعمرو بخمسة الاّ جذر ما لزيد.

الرابعة:عدد مكعّب قسم بقسمين مكعّبين.

الخامسة:عشرة مقسومة بقسمين اذا قسمنا كلا منهما علي الآخر و جمعنا لخارجين كان المجتمع مساويا لاحد قسمى العشرة.

السّادسة: ثلاث مربّعات متناسبة مجموعها مربّع.

السّابعة: مجذور اذا زيد عليه جذره و درهمان أو نقص منه جذره و درهمان كان المجتمع او الباقي جذر هذا.»

…ابتدای خاتمه می‌فرمایند: فرق معضل با بحران چیست؟ …می گوید:«خاتمه قد وقع للحكماء الراسخين في هذا الفن مسائل»زیر کلمه مسائل خط بکشید. امروز می‌گویند:«problems» خود عرب ها می گویند مسئلة و مسائل. مرحوم شیخ هم مسائل تعبیر کردند، لذا می گویند که:«انا اورد فی هذه الرساله سبعة منها».

لغت problems که در درانگلیسی به کار می برند صرفا به معنای مسئله نیست که ما در فارسی می گوییم.مسئله در فارسی گاهی یک بارِ مشکلی در آن هست. معضلی که میرداماد به کار بردند، خیلی قشنگ است[4].پیشنهاد من این است که problems را که این ها ترجمه می کنند بگویند: معضلات نه مسائل. بله ما مسئله را در فارسی به معنای چیز مشکل هم به کار می بریم.می گوییم این جا برای ما یک مسئله شده است.حتی به معنای بحران و معضل به کار می بریم.اما خود کلمه فی حد نفسه در تبادر بدویش شامل آن معنای مشکل نیست.تعجب است که عرب ها هم همین طور می‌گویند: مسائل، مسائل هیلبرت مثلاً، مسائل اسمیل،مسائل الالفیه.[5]

«قد وقع للحکماء الراسخین مسائل»حکمای راسخین در ریاضیات معضلاتی برایشان پیش آمده«صرفوا في حلّها افكارهم و وجّهوا الي استخراجها انظارهم و توصّلوا الي كشف نقابها بكل حيلة و توسّلوا الي رفع حجابها بكل وسيله فما استطاعوا اليها سبيلا»خودشان را کشته اند.تعبیر خودکشی را حاج آقای حسن زاده زیاد به کار می بردند.خودکشی می کردند در این ها ولی نتوانستند حل کنند:«و لا وجدوا عليها مرشدا و دليلا فهى باقية علي عدم الإنحلال من قديم الزمان »از قدیم این ها مانده حل نشده است«و مستصعبة علي سائر الاذهان الي هذا الآن»تا این جا که من این را برایتان می نوشتم مستصعب است نتوانستند حل کنند.«و قد ذكر علماء هذا الفنّ بعضها في مصنّفاتهم و أوردوا شطراً منها في مؤلّفاتهم تحقيقاً لإشتمال هذا الفن علي المستصعبات الآبيات و إقحاماً لمن يدّعى عدم العجز في الحسابيات»خیلی قشنگ است.بعضی می گویند در حساب که دیگر عجز معنا ندارد برو جلو.می گویند نه این ها را آوردند که چرا عجز نیست در حسابیات؟ هم عجز است، درنگ است، در جازدن است، معضل است. پیش می آید « و تحذيراً للمحاسبين من التزام الجواب...»می گویند زود خیالتان نرسد به جواب رسیده اید.خودکشی کردندو جوابش را نیافتند.شما یک وقت غره نشوید لذا بعد می‌گویند:من هفت تا از آن معضلات را در این جا می آورم به عنوان خاتمه کتاب خودم.

پس در یک کلمه، شیخ بهایی هفت تا مسائل ریاضی را مطرح کردند.مسئله یعنی چه؟مسئله، نه یعنی مسئله. مسئله یعنیproblem، یعنی مشکل و  معضلی آوردند که این ها حل نشده است. جالب است! ايشان هفت تا انتخاب کردند در زمان ما هم در سال 2000 برای هفت معضل ریاضی جایزه تعیین کردند.Millennium Prize Problems

… هفت تاست که یکیش حل شده است. کسی که حل کرد جایزه را نگرفت این طور در نظرم هست[6].

.. شیخ فرمودند. ببینید خلاصه الحساب ما یک نماینده است برای این که ختم کرده است خلاصه الحساب را با شکستن غرور ریاضی.ریاضیات خیلی عالی است، اما غرور آور نبایست باشد.باید عملاً ببینید که معضلاتی داریم که خودکشی کردند و حل نشده است.حالا ببینید تا چه زمانی حل بشود یا نشود.

در ابتدای قرن بیستم هم هیلبرت 22 تا مسئله ریاضی مطرح کرد[7] :Hilbert's problems.طی قرن بیستم این ها مطرح بود.این اواخر هم اسمیل سیزده چهارده معضل مطرح کرد که آن ها هم چندتایش حل شده است[8].منظور این است که این ها را می گوییم معضلات.

۲. بحران های ریاضی

اما بحران چیست؟crisis .عرب ها می گویند ازمة. «ازمة الریاضیات». «الازمات الثلاثة». «الازمات فی الریاضیات». معضل یک امر مشکلی است، اما دم و دستگاه را به هم نمی ریزد.مثالی که می توانم خدمتتان عرض کنم مثل یک کشتی است.می آیند می گویند الان معضلی شده است فلان شیر فلان مخزن باز نمی شود.کارمان گیر است.شیر باز نمی شود.این را می گوییم معضلی است برای کشتی، ولی بحران نیست.

بحران وقتی است که توفانی می شود که الان کشتی با همه چیزش می رود زیر آب.این می شود بحران. این خیلی تفاوت دارد با معضلات و  مسائلی که باید حل شود.زمان مرحوم شیخ معضلاتی بوده که به یک نحوهایی حل شده بود.بحران هایی هم بوده که حل شده بود.زمان ایشان بحران خیلی نمودداری نبوده که بفرمایند.

در این کتاب تاریخ ریاضیات که مال هاوارد است-دو جلد است و به فارسی هم ترجمه شده است[9]- ایشان می گوید بحران های ریاضی در طول تاریخ ریاضیات سه تا بوده است.

یکی بحران کشف اعداد گنگ[10]،

دومی بحران کشف حساب جامعه و فاضله مشتق و انتگرال[11]،

سومی هم بحران نظریه مجموعه ها در قرن بیستم[12]،

من در ذهنم هست که شاید منظورش، بحران در ریاضیات مطلق بوده است و الا کشف هندسه های نااقلیدسی در این اواخر هم خودش یک بحران بود. اصلاً شرایطی رسیده بود که بعضی از هندسه دان ها ریاضی دان می گفتند ای کاش ما وارد نشده بودیم[13].یعنی این قدر تحت فشار مطالب عصبی بودند. کل هندسه به هم می ریخت و ریخت.فلذا الآن  هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی کنار همند .خیلی مهم است که سلطان مقتدری را که بر تخت امپراتوری کل هندسه نشسته-هندسه اقلیدسی -بخواهند از تخت پایین بکشند و بشود در ردیف یکی دیگر از آن هندسه ها.خیلی کار می برد. خودش بحران است، ولی ایشان در کتاب تاریخ ریاضیات هندسه های نااقلیدسی را توضیح داده است، اما به عنوان بحران از آن نام نبرده است[14][15].]

این ها  از یک بحران علمی در ریاضیات خواستند سوء استفاده کنند.اصل مطلب آن هایک مطلب ریاضی است که هیچ ربطی به خدا ندارد و جالب این است که خود کانتور که اول بار به این پارادوکس توجه پیدا کرد موحّد بود^[16] و راسل که پارادوکس بعدی را که قوی تر است یافت، شکّاک بود؛ اما شخصی به نام گریم^[17] مدعی شده که این برهانی بر عدم خداست و ظاهرا نزد آتئیستهای مثبت‌گرا[18] این از مهمترین برهان ها قلمداد می‌شود که خواهیم دید کاملا مبتنی بر یک خلط مبحث است.

خلاصه استدلال آن ها این است که ما بی‌نهایت عدد داریم؛ و هرعددی با عدد دیگر یک رابطه دارد؛ پس بی‌نهایت رابطه می‌شود که هر رابطه‌ای، یک حقیقت است متمایز از حقیقت دیگر. وقتی با حقایق متمایز روبرو شدیم، پس می‌توانیم مجموعه‌ای از حقایق داشته باشیم؛ آنگاه سراغ نظریه مجموعه‌ها می‌رویم و این حقایق را در بزرگ ترین مجموعه، که مجموعه همه حقایق است قرار می‌دهیم. و می‌دانیم مجموعه­ی همه حقایق، نامتناهی است. تا اینجا بحث، ریاضی بود. بعد می‌گویند در ریاضیات اثبات شده که چنین مجموعه‌ای (مجموعه همه حقایق) پارادوکسیکال است؛ پس نمی‌تواند وجود داشته باشد؛ پس کسی هم که بخواهد علم به آن داشته باشد وجود ندارد.

قضیه  کانتور

اما چرا مجموعه­ی‌ همه حقایق، پارادوکسیکال است؟ کانتور که موسس نظریه مجموعه‌ها بود خودش متوجه مشکلی شد و آن در خصوص «مجموعه همه مجموعه‌ها» بود. هر مجموعه‌ای رابطه‌ای با زیرمجموعه‌هایش دارد که تعداد زیر مجموعه‌ها بزرگتر از تعداد اعضای اصلی خود مجموعه است. مثلا مجموعه {زید ، عمرو} را در نظر بگیرید. این مجموعه چند زیرمجموعه دارد: {زید}، {عمرو}،{} (= مجموعه تهی)، {زید، عمر}. یعنی واضح است که عدد اصلی هر مجموعه (در اینجا: 2) کمتر از تعداد زیر مجموعه‌هایش (در اینجا: 4) است.

 حالا «مجموعه همه مجموعه‌ها» را در نظر بگیرید. این مجموعه، اگرچه بی‌نهایت است اما در همان بی‌نهایتی‌اش یک عدد اصلی دارد و طبق استدلال فوق، تعداد زیر مجموعه‌هایش بیشتر از این عدد می‌شود. پس مجموعه‌ای که شامل این زیر مجموعه‌ها شود، مجموعه همه مجموعه‌هاست، نه آن که ما ابتدا فرض گرفته بودیم. دوباره نقل کلام به این مجموعه می‌کنیم و این روال هیچگاه متوقف نمی‌شود؛ پس مجموعه همه مجموعه‌ها نمی‌تواند وجود داشته باشد[19].

پارادوکس راسل

بعدها راسل پارادوکس دیگری یافت که از این قوی تر است[20]. می‌دانیم که مجموعه‌ها دو قسمند: مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند (مثل مجموعه صندلی‌های این اتاق) و مجموعه‌هایی که عضو خودشان هستند (مثل مجموعه مفاهیم کلی).

وی دسته اول را مجموعه‌های طبیعی نامید. حالا بحث در مجموعه‌ی مجموعه‌های طبیعی است که آیا عضو خودش هست یا نیست؟ اگر عضو خودش باشد، پس عضو خودش نیست و اگر عضو خودش نباشد پس عضو خودش است و این پارادوکس است.

[1] مطالب اصلی این فصل، تقریر مباحثی است که با عنوان شرح مقاله با خدایی گام به گام در ضمن جلسات اصول سال ۱۳۹۲-۱۳۹۳ (در روزهای چهارشنبه)و در تاریخ ۱۰/ ۲/ ۱۳۹۳ و ۱۷/ ۲/ ۱۳۹۳ و ۳۱/ ۲/ ۱۳۹۳ صورت گرفته است. علاوه‌بر متن اصلی، از بخشی از افادات موجود در جلسات حکمت و عرفان شیعی بهره برده‌ایم که با کروشه متمایز شده است.

[2] نظریه مجموعه‌ها به انگلیسی: (Set theory) شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه اشیاء ریاضی به کار برد. مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند.

[3] در زمینه بحران‌های ریاضیات مراجعه کنید به : چند جلسه اجمالی در مورد تاریخ ریاضیات، بحران‌ها و مسائل

[4] ایشان کتابی با نام الاعضالات دارند و در آن به بررسی معضلات علوم مختلف از جمله ریاضیات، کلام و فقه پرداخته‌اند که از این میان شش معضل اول مربوط به ریاضیات است. کتاب این‌گونه آغاز می‌شود: بسم اللّه الرحمن الرحيم و الاعتصام بالعزيز العليم بعد الحمد للّه و الصلاة على عباده المصطفين. فيا ولدي الروحانىّ و يا حبيبى العقلانىّ، يا شرف آل خاتون، و يا من هو بقريحته الشاهقة الملكوتيّة لكلّ علم غامض قانون. رقاك اللّه إلى قصيا المعارج في النشأتين، و لقّاك نضرة العيش على قصوى المدارج في العالمين. أقرّ اللّه أعيننا بمشاهدة جمالك، و سقانا كأسا دهاقا من رحيق وصالك.

 لا تلهينّ سرّك اللطيف عن التدبّر في هذه الإعضالات العويصة التي كسائر نظائرها من العويصات الداهية السّاجية و المعضلات السّاحية السّاطية في فنون العلوم و أفانين الصّناعات، كان فلّ وفدتها و حلّ عقدتها أمرا مرهونا في الأعصار و الدّهور بزمننا و شيئا مضمونا للأفهام و العقول من قبلنا. و اللّه سبحانه قد يسّرنا للفصية عنها و القول الفصل فيها بجميل منّه و إكرامه و جزيل فضله و إنعامه. ذلك فضل اللّه يؤتيه من يشاء، و اللّه ذو الفضل العظيم.

الإعضال الأوّل (زاوية حدبة الدائرة و الخط المماسّ إيّاها)

قد برهن أقليدس في خامس عشر ثالثة «الأصول» على أنّ زاوية حدبة الدائرة و الخطّ المماسّ إياها أصغر من كلّ حادّة مستقيمة الخطين.( مصنفات مير داماد، النص، ص: 267)

[5] با توجه به کاربردهای مختلف کلمه problem به نظر می‌رسد که لااقل از دو عبارت برای ترجمه این کلمه در زبان فارسی یا سایر زبان‌ها بهره برد: مسئله و معضل. در مورد مسائل جهان واقعی(real-world problems) تعبیر مسئله، مناسب است درحالی‌که در مسائل انتزاعی‌تر مانند مسائل هیلبرت و اسمیل باید از واژه معضل استفاده کرد.

[6] گریگوری یاکولوویچ پرلمان (روسی: Григорий Яковлевич Перельман؛ IPA: [ɡrʲɪˈɡorʲɪj ˈjakəvlʲɪvʲɪtɕ pʲɪrʲɪlʲˈman] زاده ۱۳ ژوئن ۱۹۶۶) ریاضی‌دان اهل روسیه است که به دلیل مشارکت در تجزیه و تحلیل هندسه ریمانی و توپولوژی هندسی شناخته شده‌است. او به‌طور گسترده به عنوان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان زنده شناخته می‌شود.

وی به دلیل اثبات حدس پوانکاره، مسئله‌ای که یک قرن ذهن بسیاری از ریاضیدانان را به خود مشغول کرده بود، در سال ۲۰۰۶ برنده مدال فیلدز شد که عالی‌ترین جایزه در زمینهٔ ریاضیات است. این نابغه بزرگ‌ترین افتخار دنیای ریاضی جهان را کسب کرد اما از پذیرش این جایزه سر باز زدو گفت «من به پول یا شهرت علاقه‌ای ندارم؛ نمی‌خواهم مثل یک حیوان در باغ وحش به نمایش گذاشته شوم.» در ۲۲ دسامبر ۲۰۰۶، مجله علمی ساینس اثبات حدس پوانکاره را به عنوان تحول علمی سال به رسمیت شناخت. این نخستین باری بود که چنین تحولی در زمینه ریاضی رخ می‌داد

جان بال، رئیس مرکز جهانی ریاضیدانان، گفت که وی شخصاً از پرلمان خواسته بود تا این جایزه را ببرد، اما پرلمان به او گفته که از آنجایی که خودش را جزو جامعه ریاضیدانان جهانی نمی‌داند و احساس تک‌افتادگی می‌کند این جایزه را نمی‌پذیرد.

آقای پرلمان به خبرنگار یکی از روزنامه‌های بریتانیا دربارهٔ علت نپذیرفتن جایزه مؤسسه کلی گفت: «من همه آنچه را که می‌خواهم، در اختیار دارم.»

او برنده جایزه نقدی به ارزش یک میلیون دلار هم شده بود، که این جایزه بخاطر تئوری آقای پرلمان در مورد فضای چند بعدی به او تعلق یافت؛ اما او این جایزه را هم نپذیرفت.

آقای پرلمان برنده المپیاد ریاضی تمام روسی بوده و همچنین مشارکت‌های تحول‌سازی در هندسه ریمانی و توپولوژی هندسی داشته‌است.

در سال ۲۰۱۰ اعلام شد که ایشان به دلیل اثبات حدس پوانکاره حایز معیارهای لازم برای دریافت نخستین جایزه هزاره کلی است. در ۱ ژوئیه ۲۰۱۰ آقای پرلمان این جایزه را رد کرد و تصمیم هیئت داوران و جایزه را بسیار غیرمنصفانه دانست و گفت مشارکتش در حل فرض پوانکاره از ریچارد همیلتون بیشتر نبوده‌است. ایشان همچنین جایزه معتبر جامعه ریاضی اروپا را رد کرد.(سایت ویکی پدیا)

[7] در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت (۱۸۶۲- ۱۹۴۳م) در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمن ویل (Herman Weyl) درباره آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسائل اساسی در نظریه ی پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین (Klein) او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گائوس (Gauss) و وبر (Weber) در گوتینگن به چاپ رساند. هرویتز (Hurwitz) در نامه ای به هیلبرت درباره ی این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینه ی شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او طی این سخنرانی ۲۳ مسئله در رابطه با ریاضیات را عنوان نمود که عناوین آن به شرح زیر هستند:

  ۱- مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار

 ۲- سازگاری اصول موضوعه ی حساب

 ۳- تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر

 ۴- مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه

 ۵- مفهوم لی (Lie) از گروه های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده ی گروه ها

 ۶- ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک

 ۷- گنگ و متعالی بودن اعدادی معین

 ۸- مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ی ریمان

 ۹- اثبات کلی ترین اصل تقابل در هر میدان

۱۰- آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد.

۱۱- ارائه ی یک نظریه برای فرم های درجه دوم با ضرایب عددی جبری

۱۲- تعمیم قضیه ی کرونکر برای میدان های آبلی به هر ساختار جبری گویا

۱۳- ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر

۱۴- اثبات متناهی بودن دستگاههای کامل و مشخص از توابع

۱۵- ارائه ی مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)

۱۶- مسئله توپولوژی منحنی ها و رویه های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل های حدی دستگاههای چند جمله ای در صفحه

۱۷- نمایش فرم های مشخص توسط مربع جملات

۱۸- ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروههای چند وجهی

۱۹- آیا جواب های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوماْ تحلیلی اند؟

۲۰- ارائه ی یک نظریه ی کلی برای مسائل شرط مرزی

۲۱- اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده

۲۲- یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک

۲۳- توسعه ی بیشتر روش های حساب تغییرات.

(سایت آی هوش)

[8] مسائل اسمیل (به انگلیسی: Smale's problems) فهرستی از هجده مسئلۀ حل نشدۀ ریاضی در سال ۱۹۹۸ است که توسط استیو اسمیل در همین سال انتشار یافت و در ۱۹۹۹ بازنشر شد. اسمیل این فهرست را در پاسخ به درخواست ولادیمیر آرنولد که در آن زمان معاون مدیر کل اتحادیه جهانی ریاضیات بود، تدوین کرد. آرنولد از گروهی از ریاضیدانان خواسته بود تا فهرستی از مسائل ریاضی برای قرن بیست و یکم پیشنهاد دهند. الهام بخش او در طرح این خواسته، فهرست مسائل هیلبرت بود که در اوائل قرن بیستم توسط ریاضیدان نامی، هیلبرت، پیشنهاد شده بود.

از میان این مسائل، تا کنون بعضی به صورت جزئی پاسخ داده شده اند. علاوه بر این، تا سال ۲۰۱۶ نیز سه مسئله به صورت کامل حل شده است. این سه مسئله شامل حدس پوانکاره (مسئلۀ شماره ۲ در فهرست اسمیل) حل شده توسط گریگوری پرلمان در سال ۲۰۰۳، مرکز سازهای دفیمورفیسمها (مسئلۀ شماره ۱۲) حل شده توسط امی ویلکینسون در سال ۲۰۰۹ و سیستم لورنز (مسئلۀ شماره ۱۴) حل شده توسط وارویک توکر در سال ۲۰۰۲ است.(سایت ویکی پدیا)

[9] ترجمه دکتر محمدقاسم وحیدی اصل

[10] مراجعه کنید به جلسات فقه هوش مصنوعی، جلسه ۸، مبحث فیزیکی و ذهنی نبودن عدد پی و جلسه دوم  و سوم تاریخ اجمالی ریاضیات: مسائل و بحران‌ها

[11] جلسه پنجم آشنایی اجمالی با تاریخ ریاضیات: مسائل و بحران ها

[12] از مطالعه تاریخ ریاضیات از عهد یونان باستان تا زمان حاضر آشکار می‌شود که مبانی ریاضیات، سه بحران تکان دهنده را پشت سر گذاشته است که در آنها، در هر مورد، بخشی وسیع از ریاضیات که تا آن زمان استوار به نظر می رسیده در معرض تردید قرار گرفته و به تجدید نظر فوری نیاز پیدا کرده است.

نخستین بحران در مبانی ریاضیات در قرن پنجم ق. م پیش آمد و در واقع چنین بحرانی نمی توانست پیشتر از آن رخ دهد زیرا ، همچنانکه دیده ایم ، ریاضیات به عنوان يك علم قیاسی زودتر از قرن ششم ق.م. شاید به توسط تالس فیثاغورس و شاگردان آنها شروع نشده بود. این بحران با کشف نا منتظر این مطلب که همه کمیتهای هندسی همجنس با یکدیگر متوافق نیستند به جلو انداخته شد؛ مثلا نشان داده شد که قطر و ضلع يك مربع هیچ مقیاس مشترکی ندارند. چون بسط فیثاغورسی کمیتها بر این اعتقاد راسخ شهودی که همه کمیتهای همجنس متوافق اند بنا شده بود؛ این کشف که کمیتهای همجنس، نامتوافق هم می توانند باشند بسیار مخرب از کار در آمد به عنوان مثال كل نظريه فيثاغورسي تناسب با همه تبعات آن می بایست به دلیل سست بنیادی به کناری گذاشته می شد. رفع این نخستین بحران در میانی ریاضیات نه به سادگی و نه به سرعت میسر بود. این مقصود سرانجام در حدود سال ۳۷۵ ق.م. توسط ائودوكسوس زيرك حاصل شد که نظریه تجدید نظر یافته او در باره كميتها و تناسب یکی از بزرگترین شاهکارهای همه اعصار است. بررسی قابل توجه ائودوکسوس از نامتوافقها را میتوان در مقاله پنجم اصول اقلیدس یافت؛ مطالعه وی اساساً با شرح جدیدی که توسط ریشارد در کیند در سال ۱۸۷۲ از اعداد گویا داده شد، انطباق دارد. ما این نخستین بحران در مبانی ریاضیات را در بخش ۳-۵ و چگونگی رفع آن را توسط ائودوکسوس در بخش ۵-۵ دیده ایم این امکان کاملا موجود است که بحران مزبور عمدتاً براثر فرمولبندی و پذیرش روش اصل موضوعی در ریاضیات پیدا شده باشد.

دومین بحران در مبانی ریاضیات پس از کشف حسابان توسط نیوتن ولا يبنيتز در اواخر قرن هفدهم پیش آمد. دیدیم که چگونه جانشینان این دو تن سرمست از قدرت و کار پذیری این ابزار جدید از استحکام به قدر کفایت پایه ای که این موضوع بر آن بنا شده بود غافل ماندند، به طوری که به جای داشتن براهینی که نتایج را موجه نماید نتایج را برای توجیه براهین به کار گرفتند. با گذشت زمان تناقضها و پارادوکسهای روز افزون پیش آمد و بحرانی جدی در مبانی ریاضیات آشکار گردید. این نکته بیشتر و بیشتر تشخیص داده شد که بنای آنالیز خانه ای به روی شن است و سرانجام در اوایل قرن نوزدهم کوشی اولین گامها را در جهت حل این بحران با گذاشتن روش دقیق حدود به جای روش مبهم بینهایت کوچکها، برداشت با به اصطلاح حسابیدن آنالیز که توسط وایرشتراس و پیروانش در قدم بعد انجام شد. این احساس به وجود آمد که بر دومین بحران در مبانی آنالیز غلبه حاصل شده است. وكل ساختار ریاضیات از مشکل رها و بر پایه ای عاری از اشکال قرارداده شده است. ریشه و نحوه رفع این دومین بحران در مبانی ریاضیات موضوع بخش ۱۴-۹ بود. پیش اخطارهای این بحران را میتوان در پارادوکسهای مشهور زنون به حدود ۴۵۰ ق.م. مشاهده کرد.

سومین بحران در مبانی ریاضیات به طور غیر مترقبه ای در سال ۱۸۹۷ متجسم شد، و گر چه اکنون قدمتی بیش از نصف قرن دارد هنوز به نحوی که رضایت همه افراد ذیعلاقه را فراهم آورد، حل نشده است. این بحران با کشف پارادوکسها یا تعارضاتی در حاشیه نظریه عام مجموعه ها منسوب به کانتور پدیدار شد. چون مفاهیم مجموعه تداخل زیادی در قسمت اعظم ریاضیات دارد و به همین دلیل میتوان در واقع آن را پایه ای برای ریاضیات قرار داد کشف پارادوکسهایی در نظریه مجموعه ها طبیعتاً در اعتبار تمامیت ساختار بنیادی ریاضیات سایه تردید می افکند.

در سال ۱۸۹۷ ریاضیدان ایتالیائی بورانی - فورتی، اولین پارادوکس در نظریه مجموعه ها را به معرض توجه عموم در آورد این پارادوکس به صورتی که در ذهن بودالی فورتی بوده و توسط او بیان شده متضمن اصطلاحات فنی وایده هایی است که در این بررسی محدود، جای بسط آن وجود ندارد. مع هذا، جوهر این پارادوکس را می توان با يك توصيف غیرفنی از پارادوکس کاملا مشابهی که دو سال بعد توسط کانتور پیدا شد، ارائه کرد. کانتور در نظریه مجموعه های خود موفق به اثبات این مطلب شد که به ازای هر عدد ترانسفینی مفروض همواره يك عدد ترانسفینی بزرگتر از آن وجود دارد. یعنی همانطور که بزرگترین عدد طبیعی موجود نیست، بزرگترین عدد ترانسفینی هم وجود ندارد. حال مجموعه ای را در نظر بگیرید که اعضای آن کلیه مجموعه های ممکن باشند. مطمئناً هیچ مجموعه ای نمی تواند اعضایی بیش از این مجموعه کلیه مجموعه ها داشته باشد. ولی اگر چنین باشد چگونه يك عدد متعالی بزرگتر از عدد ترانسفینی این مجموعه می تواند وجود داشته باشد؟

در حالی که پارادوکسهای بورالی - فورتسی و کانتور متضمن نتایجی از نظریه مجموعه هاست برتراند راسل در سال ۱۹۵۲ پارا دو کسی کشف کرد که به چیزی جز مفهوم صرف خود مجموعه بستگی ندارد. قبل از بیان پارادوکس راسل ، متذکر می شویم که مجموعدها یا اعضای خود هستند یا اعضای خود نیستند. مثلاً مجموعه همه ایده های مجرد خود ایده مجردی است، ولی مجموعه همه انسانها يك انسان نیست . همچنین ، مجموعه همه مجموعه ها خود يك مجموعه است ولی مجموعه کلیه ستارگان يك ستاره نیست. مجموعه كلیه مجموعه هایی را که اعضای خودشان هستند با M، ومجموع كليه مجموعه هایی را که اعضای خودشان نیستند با N نشان میدهیم حال از خود می پرسیم که آیا مجموعه عضو خودش هست یا نیست . اگر N یکی از اعضای خودش باشد، در این صورت N عضو Mاست و نه عضو N و N يك عضو خودش نیست. از طرف دیگر اگر N یکی از اعضای خود نباشد آنگاه یکی از اعضای N و نه M است ، و N یکی از اعضای خودش می باشد. پارادوکس از این حقیقت ناشی میشود که در هر حالت به يك تناقض می رسیم.

صورت فشرده تر و دور از اطنابی از پارادوکس راسل را می توان به شکل زیر ارائه کرد. فرض کنید X مجموعه دلخواهی باشد. در این صورت بنابر تعریف N،

(ΧΕΝ)  <<->> (Χ¢X)

حال X را N بگیرید و به تناقض زیر برسید

(ΝΕΝ)<<->> (N¢N).

راسل این پارادوکس را طی نامه ای برای فرگه فرستاد این نامه درست بعد از آنکه فرگه آخرین جلد اثر عظیم دو جلدی خود درباره مبانی حساب را تکمیل کرده بود، به او رسید. فرگه در پایان کتاب خود با جملات متاثر کننده و کاملا تو ام با خویشتن داری زیر به این نامه اشاره کرد: برای یک دانشمند هیچ چیزی نامطبوعتر از آن نیست که به محض اتمام کاری مبنای آن را در حال فروپاشی ببیند نامه ای از آقای برتراند راسل در زمانی که کتاب تقریباً آماده سپردن به چاپخانه بود مرا در چنین وضعی قرارداده است. حاصل زحمات ده سال یا بیشتر همین بود.

به پارادوکس راسل به شکلهای مختلف جنبه عامیانه داده شده است. یکی از مشهورترین شکلهای آن توسط خود راسل در سال ۱۹۱۹ داده شد و به گرفتاری آرایشگری در يك دهکده معین مربوط میشود که مبنای کار خود را بر این گذارده که فقط و فقط صورت آن عده از اهالی دهکده را بتراشد که خود صورت خود را نمی تراشند. ماهیت پارادر کسی وضعیت این شخص وقتی تشخیص داده میشود که بخواهیم به سوال زیر پاسخ دهیم، « آیا این آرایشگر صورت خود را خود میتراشد یا نه؟ اگر وی صورت خود را بتراشد، در این صورت مطابق اصل اعلام شده از طرف خود نباید این کار را انجام دهد. اگر وی صورتش را خود نتراشد در این صورت مطابق اصل خود باید این کار را انجام دهد.

از زمان کشف تناقضهای بالا در بطن نظریه کانتوری مجموعه ها، پارادوکسهای فراوان دیگری به وجود آمده اند. این پارادوکسهای جدید نظریه مجموعه ها به چندین پارادوکس قدیمی در منطق مربوط میشوند. مثلاً نکته زیر به ائو بوليدس مربوط به قرن چهارم ق.م. نسبت داده می شود، چیزی که الان میگویم نادرست است. اگر گفته انو بولیدس درست باشد آنگاه بنابر گفته خود او این گفته باید نادرست باشد. از طرف دیگر ، اگر گفته ائو بولیدس نادرست باشد در این صورت نتیجه میشود که گفته او باید درست باشد. بدین ترتیب گفته انو بو ليدس نمی تواند بی آنکه موجب تناقضی شود نه درست و نه نا درست باشد. پارادوکسی منسوب به اپیمنیدس که در صحت انتساب آن به اپیمنیدس جای تردید است شاید قدیمیتر از پارادوکس انو بولیدس باشد. اپیمنیدس که خود فیلسوفی از اهالی کرت ۲ در قرن ششم ق.م بود گویا چنین گفته است که اهالی کرت همیشه دروغ می گویند. از تحلیل ساده این گفته آشکار میشود که این نیز ناقض خود است.

وجود پارادوکسهایی در نظریه مجموعه ها نظیر پارادوکسهای بالا، به وضوح آشکار می کنند که کار از جایی عیب دارد از زمان کشف آنها نوشته های زیادی درباره این موضوع منتشر، و کوششهای متعددی در جهت رفع آنها پیشنهاد شده است. (آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۳۱۵-۳۱۸)

[13] اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعی بود كه لزوم واقعی آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور می شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد. در طول تاريخ رياضيدانان بسياری از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئی و ... تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بی نتيجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همين اصل را در اثبات خود به كار می بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد. يانوش بويوئی يكی از رياضيدانان جوانی بود كه در اين را تلاش می كرد. پدر وی نيز رياضيدانی بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود . و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر می شناسم. اين شب بی پايان همه روشنايی و شادمانی زندگی مرا به كام نابودی فرو برده است، التماس می كنم دانش موازيها را رها كنی. ولی يانوش جوان از اخطار پدر نهرسيد، زيرا كه انديشه ی كاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازی اقليدس، حكم بی معنی ای نيست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است. بعدها مشخص شد كه لباچفسكی در سال 1829 كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسی در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئی منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه های نااقليدسی به نام بويوئی و لباچفسكی ثبت گرديد.(سایت راسخون، مقاله هندسه نااقلیدسی) همچنین مراجعه کنید به صفحه janos Bolyai

[14] دو رویداد ریاضی مهم و انقلابی در نیمه اول قرن نوزدهم به وقوع پیوست. اولین آنها كشف هندسه خود سازگاری ، غیر از هندسه مرسوم ،اقلیدس در حدود سال ۱۸۲۹ بود؛ دومی کشف جبری متفاوت با جبر معمولی دستگاه اعداد حقیقی در سال ۱۸۴۳ بود. اکنون توجه خود را به بررسی این دو رویداد معطوف کرده ابتدا آن را که در زمینه هندسه است مورد بحث قرار میدهیم.

شواهدی در دست است که بسط منطقی نظریه موازیها یونانیان قدیم را به طور قابل ملاحظه ای دچار در دسر کرده بود اقلیدس با تعریف خطوط موازی به عنوان خطوطی واقع در يك صفحه که هر اندازه آنها را در هر جهت امتداد دهیم یکدیگر را تلاقی نمی کنند و با پذیرفتن اصل توازی خود به عنوان يك اصل موضوع که امروزه مشهور است ، به این مشکلات پاسخ داد. این اصل (برای دیدن بیان آن نگاه کنید به بخش ۵ - ۷) که ایجاز سایر اصول را ندارد به هیچوجه واجد صفت بدیهی نیست. در واقع این اصل، عکس قضيه I ۱۷ است و بیشتر به يك قضیه شباهت دارد تا یک اصل بعلاوه اقلیدس از این اصل نوازی تا وقتی که به قضیه I ۲۹ می رسد، استفاده نمیکند. طبیعی بود که لزوم واقعی این اصل مورد سؤال قرار گیرد و چنین تصور شود که شاید بتوان آن را به عنوان قضیه ای از نه «اصل متعارفی» و «اصل موضوع» دیگر استخراج کرد یا حداقل بتوان به جای آن معادل قابل قبولتری را قرار داد. …

تلاشها در جهت استخراج اصل توازی به عنوان قضیه ای از نه اصل متعارفی و اصل موضوع دیگر هندسه دانان را برای متجاوز از دو هزار سال مشغول کرد و منجر به برخی از دوررسترین پیشرفت‌های ریاضیات نوین شد. براهین متعددی برای این اصل ارائه شد اما طولی نکشید که نشان داده شد که هر یک از آن‌ها مبتنی‌بر یک فرض تلویحی معادل با خود اصل بوده‌اند…

بوبوئی کشفیات خود را در سال ۱۸۳۲ در ضمیمه ای برکارهای ریاضی پدرش به چاپ رسانید. بعداً معلوم شد که لباچفسکی کشفیات مشابهی را زودتر در سالهای ۱۸۲۹-۱۸۳۰ منتشر کرده است. ولی به دلیل موانع زبانی و کندی در گسترش اكتشافات جدید موجود در طی آن سالها کار لباچفسکی چند سالی در اروپای غربی ناشناخته ماند. به نظر می رسد نیازی به بحث درباره نظریه های بغرنج و احتمالاً بی اساس دایر بر اینکه چگونه هر يك از این سه تن اطلاعاتی از کشفیات یکی دیگر به دست آورده و به خود منتسب کرده است، نباشد. در آن زمان هم سوءظن و هم متهم کردن دیگران تا حد زیادی وجود داشته است.

 یا نوش (یا یوهان) بويوئی يك افسر مجارستانی در ارتش اطریش و فرزند فورکوش یا وولفگانگ بويوئی، يك معلم رياضی ولایتی و دوست دیرینه گاوس بود. بدون شك محرك بویوئی جوان در مطالعه اصل توازی، پدرش بود که پیشتر از آن علاقه مندی خود را به این مسئله نشان داده بود پیش از سال ۱۸۲۳ یانوش بویوئی شروع به درک ماهیت واقعی مسئله ای که با آن مواجه بود کرد و در نامه ای که طی این سال به پدر نوشت، شیفتگی خود را به کار خود نشان میدهد. در این نامه وی عزم خود را برای چاپ رساله ای در باب نظریه موازی به محض آنکه زمان و فرصت تنظیم مطالب را پیدا کند اعلام کرده و ندا در می دهد که «من از هیچ جهانی تازه و شگفت انگیز آفریده ام» پدر اصرار می کند که مقاله مورد نظر به عنوان ضمیمه ای براثر نیمه فلسفی حجیم دو جلدی خود او درباره ریاضیات مقدماتی چاپ شود. بسط و تنظیم اندیشه ها کندتر از آنچه یا نوش انتظار داشت پیش رفت، ولی سر انجام در سال ۱۸۲۹، وی دستنویس پایان یافته را به پدر تسلیم کرد و سه سال بعد، در ۱۸۳۲ ، رساله به صورت يك ضمیمه بیست و شش صفحه ای در انتهای جلد اول اثر پدرش ظاهر می شود...

در سال ۱۸۵۴، ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر هندسه سازگار نا اقلیدسی دیگر را می توان از فرض زاویه حاده به دست آورد. کلاین در سال ۱۸۷۱ به این سه هندسه یعنی هندسه بویوئی و لبا چفسکی، هندسه اقلیدس، و هندسه ریمان نامهای هندسه هذلولوی هندسه سهموی و هندسه بیضوی داد.

البته نتیجه مستقیم کشف این اولین هندسه نا اقلیدسی به سرانجام رسیدن مسئله ديرينة اصل موضوع توازی بود - نشان داده شد که اصل موضوع توازی مستقل از اصول موضوعه دیگر هندسه اقلیدسی است. اما پیامدی دور رستر از این آزاد شدن هندسه از قالب سنتی آن بود. این عقیده ریشه دار قرنهای متمادی که تنها يك هندسه ممکن می تواند موجود باشد خدشه دار شد و راه برای ایجاد چندین دستگاه مختلف هندسه گشوده شد. با امکان خلق چنین هندسه های کاملاً مصنوعی آشکار شد که هندسه لزوماً به فضای مادی واقعی گره نخورده  است. اصول موضوعه هندسه برای ریاضیدان صرفاً فرض هایی شدند که درستی یا نادرستی فیزیکی آن ها برای او مطرح نیست. ریاضیدان می تواند اصول موضوعه خود را برای ارضای خاطر خود اختیار کند به شرطی که سازگاری آن ها با یکدیگر محفوظ بماند.(آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج ۲، ص ۱۸۴-۱۹۰)

[15] جلسه اول آشنایی با تاریخ ریاضیات: معضلات و بحران ها

[16] گئورگ کانتور یک لوتری مومن بود که اعتقادات صریح مسیحیان فلسفه علم او را شکل داد.گفته می‌شود کانتور بر این باور بوده که نظریه اعداد ترامتناهی از سوی خدا به‌وی الهام شده بوده‌است.(سایت ویکی پدیا) کانتور در سال 1905 پس از پشت سر گذاشتن دوران بیماری‌اش در بیمارستان و بازگشتش به خانه، یک اثر مذهبی نوشت.(سایت آی هوش)

[17] پاتریک گریم،فیلسوف آمریکایی دارای نوشته هایی در زمینه فلسفه دین،فلسفه علم،فلسفه منطق(سایت ویکی پدیا)

[18] در ابتدای مقاله با خدایی گام به گام می‌خوانیم: افراطي ترين بي خدايان ، بي خدايان مثبت گرا هستند که مدعي هستند دليل دارند بر نبود خدا و قانع نمي شوند که بگويند ما نمي دانيم خدا هست يا خير؟ بلکه مي گويند حتما مي دانيم که خدا نيست ، و ادعاي علم و قطع که امر ساده اي نيست دارند ، و توجه کنيد به تفاوت اين سه: علم به وجود ، علم به عدم ، عدم علم به وجود يا عدم.

[19] در نظریه مجموعه‌های مقدماتی، قضیه کانتور نتیجه بنیادینی است که بیان می دارد: برای هر مجموعه A ، مجموعه تمام زیر مجموعه های A (به آن مجموعه توانی A   گفته می شود و با P ( A ) } نمایش داده می شود) به طور اکید کاردینالی بزرگتر از خود A  دارد. برای مجموعه های متناهی می توان با شمردن تعداد زیر مجموعه ها، درستی قضیه کانتور را مشاهده کرد. با در نظر گرفتن تهی به عنوان یک زیر مجموعه، کل زیرمجموعه های یک مجموعه n  عضوی برابر  خواهد بود، بنابر این اگر

c a r d ( A ) = n ، 

 آنگاه

2ⁿ c a r d ( P ( A ) ) =    

  و قضیه برقرار است چون برای تمام اعداد صحیح نامنفی داریم>n  2ⁿ  

کشف مهم کانتور این بود که گزاره اخیر برای هر مجموعه ای درست است، یعنی علاوه بر مجموعه های متناهی برای مجموعه های نامتناهی، چه شمارا یا ناشمارا نیز درست است. به طور خاص، یکی از پیامدهای مهم قضیه کانتور این است که اعداد طبیعی که یک مجموعه شمارا با کاردینال

  ℵ 0 = c a r d ( N ) 

است، برابر یک مجموعه ناشمارا می باشد که کاردینال آن با اعداد حقیقی برابر بوده و این کاردینال از کاردینال اعداد طبیعی بزرگتر است و به آن کاردینال پیوستار گویند:

 c a r d ( R ) = c a r d ( P ( N ) ).

 رابطه بین این کاردینال ها را به این صورت نمایش می دهند:

 c= 2  ^{ℵ 0}  > ℵ 0

این قضیه به افتخار ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور نامگذاری کردند، او اولین کسی بود که این قضیه را در انتهای قرن نوزدهم میلادی بیان و اثبات کرد. قضیه کانتور پیامدهای فوری و مهمی در فلسفه ریاضیات داشت. به عنوان مثال، با تکرار عمل ساخت مجموعه توانی از یک مجموعه نامتناهی و اعمال قضیه کانتور، به سلسله مراتب نامتناهی از کاردینال‌های نامتناهی می رسیم که هر کدام از قبلی به طور اکید بزرگتر است. در نهایت، این قضیه دلالت بر این دارد که هیچ کاردینالی که از همه کاردینال‌ها بزرگتر باشد وجود ندارد (به زبان دیگر "بزرگترین بی نهایت وجود ندارد").(سایت ویکی پدیا) همچنین ملاحظه کنید: Cantor's theorem

[20] این‌که راسل چه موقع این پارادوکس را کشف کرد دقیقاً مشخص نیست، ولی به‌نظر می‌رسد که در ماه مه یا ژوئن سال ۱۹۰۱ و احتمالاً به عنوان نتیجه‌ای از کارش بروی قضیه کانتور (عدد اصلی هر مجموعه از عدد اصلی مجموعه توانی آن کمتر است) به این پارادوکس پی برده‌است.

او ابتدا پارادکس را در سال ۱۹۰۱ به صورت مقاله‌ای در ماهنامهٔ اینترنشنال با عنوان «جدیدترین کار در فلسفه ریاضیات» مطرح کرد.

او همچنین برهان کانتور را در مورد این‌که بزرگ‌ترین عدد اصلی وجود ندارد مطرح ساخت و اضافه کرد که «استاد» در مورد یک مغالطه زیرکانه مقصر است که او بعداً در این باره توضیح می‌دهد.

راسل همچنین پارادوکس را در کتاب خود با عنوان اصول ریاضیات (Principles of Mathematics)-که نباید با کتاب قبلی او Principia Mathematica اشتباه شود- ذکر کرد که آن را «تناقض» نامید. دوباره او بیان کرد که این پارادکس را با تجزیه و تحلیل برهان کانتور برای اثبات عدم وجود بزرگ‌ترین عدد اصلی به‌دست آورده‌است.

راسل در سال ۱۹۰۲ این پارادکس را با فرگه که در حال نوشتن جلد دوم کتاب خود با عنوان Grundgesetze der Arithmetik بود در میان گذاشت.

فرگه با عجله در ضمیمه‌ای، یک راه حل برای رفع این پارادکس نوشت که بعدها ناکافی بودن آن به اثبات رسید. به هر حال، بعد از چاپ جلد دوم کتاب، فرگه بعد از انتشار دومین بخش کتاب خود، کمی در مورد منطق ریاضی و فلسفه ریاضیات نوشت.

ارنست تسرملو در هنگام کار روی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها که در سال ۱۹۰۸ آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پی‌برد ولی گمان کرد نکتهٔ کوچکی است و لذا هیچ‌گاه آن را منتشر نساخت. تسرملو در دستگاه اصل موضوعی خود، از این پارادکس با بهره‌گیری از اصل موضوعی با عنوان اصل موضوع تصریح جلوگیری کرد.

راسل و آلفرد نورث وایتهد سه جلد از کتاب اصول ریاضیات را به امید پیروزی در حالی که فرگه شکست خورده‌بود نوشتند و در آن سعی کردند با استفاده از نظریهٔ انواع، از چنین پارادکس‌هایی در نظریه طبیعی مجموعه‌ها اجتناب کنند.

هنگامی که آن‌ها موفق به پایه‌ریزی حساب شدند، به نظر نمی‌رسید که فقط از منطق استفاده کرده باشند. به هر حال کورت گودل، در بین سال‌های ۱۹۳۰ تا ۱۹۳۱ ثابت کرد که منطق بسیاری از بخش‌های Principia Mathematica که اکنون به عنوان منطق مقدماتی خوانده می‌شود کامل است ولی حساب پئانو در صورتی که سازگار باشد لزوماً ناکامل است؛ بنابراین از این به بعد برنامه‌های منطقی فرگه و Principia Mathematica مردند.(سایت ویکی پدیا)