ب) کانتور؛ نظریّات و بازتاب آن
«بین ریاضی دان های قرن بیستم بحثی پیش آمده بود در قرن بیستم که به بهشت کانتورمعروف شد. کانتور[1] یک ریاضی دان بود؛ نظریه مجموعه‌ها را آورد، بعد هم اعداد ترانسفینی و اعداد بی‌نهایت. در قرن بیستم ریاضیات، برای بی‌نهایت‌ها دستگاهی به پا کرد.
سخن هیلبرت: «بهشت کانتور»
یکی دیگر از ریاضی‌دان‌های مهم قرن بیستم هیلبرت بود. ایشان یک جمله‌ای گفت که جمله او بین محافل علمی معروف شد. چون عده‌ای بعد از کانتور بودند تا تلاش کنند این حرف‌های او را ذوب کنند و حذف کنند؛ ضعیفش کنند و از بین ببرند[3]. او که خودش ریاضی دان بزرگی بود این جمله را گفت: احدی را یارای این نیست که ما را از بهشتی که کانتور برای ما آورد بیرون کند[4]. این جمله معروف شد. یعنی تلاش‌های کسانی که می‌خواهند این‌ها را تعطیل کنند، تلاش بی خودی است. بهشت کانتور در قرن بیستم معروف شد.
امکان ارائه «بهشت کانتور» با شواهد
به گمان من طلبه، برای ما امکاناتی فراهم است تا این بهشت را نشان بدهیم؛ نه این‌که یک چیزی همین‌طور بگوییم. باید نشان داده شود. یکی از شئون مهم این باور کانتور را پارسال در عدد پی نشان دادم[5]. عرض کردم نقطه عدد پی روی محور، بین سه و چهارده تا سه و پانزده صدم قرار می‌گیرد، بین این‌ها بی‌نهایت نقاط ممتاز متعین داریم. متعین ثابتی که هر چه پیشرفت کنیم آن‌ها را به دست می‌آورید. نه همین‌طور لایقفی[6]! نه، اعداد ممتاز.
بی‌نهایت بالفعل؛ بی‌نهایت لا یقفی
[ از زمان ارسطو، تمام بی نهایت ها، چه بی نهایت بزرگ و چه بی نهایت کوچک را با بی نهایت بالقوّه حل می کردند.بی نهایت بزرگ را می گفتند: لایقف . بی نهایت کوچک را می گفتند: بالقوّه . ما هم با این دوتا خیلی مانوس هستیم چون مبنای کتاب‌های ما هم معمولاً ارسطویی است. انسان خودش را قانع می‌کند به بی نهایتِ لا یقفی و کار تمام می‌شود[7]]
در این فاصله کوتاه، شما می‌توانید یک مفهوم افلاطونی را نشان بدهید. این، یکی از شعب آن بهشت است؛ کسی که دنبال این‌ها است وقتی احساس کرد دیگر فاصله نمی‌گیرد و دیگر به دیگری نگاه نمی‌کند. این خیلی مهم است؛ شما فقط این قدرت را داشته باشید که نشان بدهید. الآن گنگ بودن عدد پی در زمان ما صاف صاف است. فقط از لوازمش استفاده‌ای که باید بکنیم، نمی‌کنیم[8].
سخن ویتگنشتاین
یک جا دیدم؛ بعد از این‌که هیلبرت این حرف را زد، ویگتنشتاین گفته بود: من که هرگز زحمت نمی کشم تا شما را از این بهشت بیرون کنم؛ من فقط یک کار می‌کنم؛ من توصیف می‌کنم و می‌گویم این بهشت نیست، وقتی خودتان دیدید که بهشت نیست، خب از آن بیرون می‌آیید[9]! چرا شما را از بهشت بیرون کنم؟! من توضیح می‌دهم که این بهشت نیست، لذا خودتان بیرون می‌آیید. چون شما به خیال بهشت آن جا مانده‌اید، وقتی من توضیح دادم که بهشت نیست، خودتان بیرون می‌آیید. این جمله‌ای بود که او گفته بود. ویگتنشتاین این را در جواب هیلبرت گفته بود. او گفته احدی را یارا نیست، او گفته بود من این جور توصیف می‌کنم.
پاسخی به ویتگنشتاین
به ذهن طلبگی من آمد که به این صورت جوابش را بدهیم؛ بگوییم ما که حاضر هستیم شما توصیف کنید اینجا بهشت نیست تا بیرون بیاییم. اما چرا بیرون تشریف دارید و توصیف می‌کنید؟! بیایید داخل بنشینید و تعریف کنید. از اینجا تعریف کنید که بهشت نیست. می‌دانید تفاوت در چیست؟ ویگتنشتاین، فیلسوف تحلیلی است و شروع فلسفه تحلیلی بسیار مدیون او است. ظاهراً از استادش راسل این‌طور نقل کرده‌اند: گفت نزد من آمد و گفت تشخیص شما چیست، استاد؟! اگر من فیلسوف می‌شوم بمانم، اما اگر نمی‌شوم یک شغلی را انتخاب کنم. خودش این‌طور می‌گوید: اگر من را یک احمق می‌بینی خب فلسفه خواندن را رها کنم و مهندس بشوم. اگر من را احمق نمی‌بینی خب فلسفه را ادامه می‌دهم. استاد گفته بود، صبر کن تعطیلی ها پیش بیاید، من یک مقاله می‌دهم برو بنویس تا ببینم احمق هستی تا فلسفه را رها کنی یا نه؟! خب این‌ها شروع این فلسفه تحلیلی برای او بود[10][11].»
[1] گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور (۳ مارس ۱۸۴۵؛ [در برخی منابع ۱۹ فوریه نیز گزارش شده] – ۶ ژانویه ۱۹۱۸) ریاضی‌دانی آلمانی بود. آوازهٔ کانتور بیشتر به‌خاطر ابداع نظریه مجموعه‌ها می‌باشد چرا که امروزه به نظریه‌ای بنیادین در ریاضیات تبدیل شده‌است. کانتور ایدهٔ تناظر یک به یک میان اعضای دو مجموعه را مطرح کرد، مفهوم بی‌نهایت و مجموعه‌های خوش‌ترتیب را تعریف نمود، و همچنین ثابت کرد که مجموعه اعداد حقیقی «بزرگتر» از مجموعه اعداد طبیعی است. در حقیقت، روش کانتور در اثبات این قضیه نشان می‌داد که مجموعه‌ای نامتناهی از بی‌نهایت‌ها وجود دارد. او اعداد اصلی و ترتیبی و حساب آن‌ها را تعریف کرد. دستاورد کانتور از لحاظ فلسفی نیز جایگاه ویژه‌ای دارد و وی نیز به‌نیکی از این حقیقت آگاه بود. در ابتدا تصور می‌شد که نظریه کانتور دربارهٔ اعداد ترامتناهی (ترانسفینی) تا حدود زیادی خلاف شهود—یا حتی تکان‌دهنده—است، تا آنجا که با مقاومت شدید هم‌عصران او همچون لئوپولد کرونکر و آنری پوانکاره، و بعدها هرمان ویل و لوئیتزن اخبرتوس یان براور قرار گرفت، و لودویگ ویتگنشتاین نیز در مورد نظریهٔ او ایرادهای فلسفی بیان نمود. برخی از علمای مسیحی (به‌ویژه پیروان جدید فلسفه مدرسی) نیز می‌پنداشتند که دستاورد کانتور چالشی است بر یکتایی بی‌نهایت مطلق در طبیعت خدا؛ یعنی برابر دانستن نظریه اعداد ترامتناهی با همه‌خدایی، در حالی‌که کانتور چنین مدعایی را به‌شدت رد می‌کرد. این انتقادها در برخی مواقع حتی شدت بیشتری می‌یافتند: پوانکاره از ایده‌های کانتور به‌عنوان بیماری گریوز یاد می‌کرد و می‌گفت که این بیماری نظام ریاضیات را عفونی می‌کند. کرونکر نیز در نزد عموم به‌مخالفت صریح با کانتور برمی‌خاست و به‌وی حملات شخصی می‌کرد؛ از جمله این‌که از او به‌عنوان یک "شارلاتان علمی،" یک "ازدین‌برگشته" و یک "فاسدکنندهٔ جوانان" یاد می‌کرد. کرونکر حتی از اثبات کانتور مبنی بر شمارا بودن اعداد جبری و ناشمارا بودن اعداد متعالی ایراد می‌گرفت، در حالی‌که امروزه این نتایج بخشی از برنامه استاندارد دروس ریاضی هستند. حتی دهه‌ها پس از مرگ کانتور، ویتگنشتاین با دریغ نوشت که ریاضیات "مورد تاخت‌وتاز اصطلاحات آسیب‌رسان نظریه مجموعه‌ها قرار گرفته‌است." وی چنین اصطلاحاتی را "مزخرف مطلق،" "خنده‌آور،" و "نادرست" تلقی می‌کرد. گفته می‌شود که علت مجموعه افسردگی‌های کانتور از ۱۸۸۴ تا پایان زندگی او، دشمنی بسیاری از معاصرانش با وی بوده‌است، اگرچه برخی نیز از این افسردگی‌ها به‌عنوان ظهور اختلال دوقطبی در وی یاد می‌کنند. این انتقادهای شدید، بعدها به تحسین و تمجید تبدیل شدند. در سال ۱۹۰۴، انجمن سلطنتی جایزهٔ مدال سیلوستر را به‌وی داد که به‌عنوان بزرگترین جایزه و افتخاری تلقی می‌شود که برای دستاورد ریاضی به شخصی اهدا می‌گردد. گفته می‌شود کانتور بر این باور بوده که نظریه اعداد ترامتناهی از سوی خدا به‌وی الهام شده بوده‌است. مشهور است که داوید هیلبرت از دستاورد کانتور در برابر منتقدان، این‌چنین دفاع می‌کرد: "هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور آفریده، بیرون کند."(سایت ویکی پدیا)
[2] داویت هیلبرت (آلمانی: David Hilbert، ۲۳ ژانویه ۱۸۶۲ – ۱۴ فوریه ۱۹۴۳) ریاضی‌دان آلمانی و از مشهورترین ریاضی‌دانان قرن نوزدهم و آغاز قرن بیستم میلادی بود. او از اثرگذارترین ریاضی‌دانان در پیدایش و گسترش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت است. هیلبرت طیف وسیعی از ایده‌های اساسی را در بسیاری از زمینه‌ها شامل نظریه ناوردا، حساب تغییرات، جبر جابجایی، نظریه جبری اعداد، بنیان‌های هندسه، نظریه طیفی عملگرها و کاربردهای آن در معادله انتگرالی، ریاضی فیزیک و نظریه برهان، کشف و توسعه داد.
او در کونیگس‌بِرگ زاده شد و ۱۸۸۴ از دانشگاه این شهر دکترا گرفت و نزدیک ده سال را به تدریس در آن دانشگاه گذراند. سپس در ۱۸۹۵ به استادی دانشگاه گوتینگن رسید و تا پایان عمر در این شهر زیست.(سایت ویکی پدیا)
[3] در این زمینه به مقاله «GEORG CANTOR AND THE BATTLE FOR TRANSFINITE SET THEORY» (گئورگ کانتور و نبرد برای نظریه مجموعه های فرامتناهی) مراجعه فرمایید.
[4] "No one shall drive us from the paradise which Cantor has created for us."( A glimpse of Cantor's paradise )
در این زمینه همچنین به صفحه«بهشت کانتور» در سایت فدکیه مراجعه فرمایید.
[6] ملاصدرا در بیان اقسام بی نهایت و تفکیک بین بی نهایت بالقوة و بی نهایت بالفعل می فرماید:
و منها أن غير المتناهي على معنيين: أحدهما بالقوة و هو غير المتناهي اللايقفي
و ثانيهما بالفعل و هو غير المتناهي العددي، و مقدورات الله تعالى عند المتكلمين غير متناهية بالمعنى الأول لا بالمعنى الثاني لأنهم منكرون لوجود الغير المتناهي بالفعل مرتبا كان أو غير مرتب متعاقبا كان أو مجتمعا و التفاوت إنما يجوز في غير المتناهي بالمعنى الأول كقبول الجسم عند الحكماء للأنصاف المتداخلة غير المتناهية و الأرباع المتداخلة غير المتناهية و الثانية نصف الأولى.(الحکمة المتعالیة، ج ٧، ص ٣١٨)
شهید مطهری بی نهایت بالقوة را این گونه تبیین می کند:
اعداد متناهى نيستند؛ يعنى اگر اعداد را بيان كرده و بالا برويم و بگوييم ۱، ۲، ۳،...، ۱۰۰۰،...، ۱۰۰۰۰۰۰،... هر چه بالا برويم به عددى كه ما فوق آن نتوان عددى را فرض كرد نمى‌رسيم. هر عددى را كه ما فرض كنيم باز هم ما فوق آن عددى فرض مى‌شود، بلكه براى آن عدد دو برابر هم فرض مى‌شود، بلكه خودش ضرب در خودش هم فرض مى‌شود، خود آن به قوۀ ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و... هم فرض مى‌شود. هر عددى را كه شما اعتبار كنيد و بگوييد اين آخرين عدد است باز هم بالاتر از آن عدد است. اين است كه مى‌گويند اعداد غير متناهى است.
امّا اينكه مى‌گويند اعداد غير متناهى است، منظور غير متناهى بالفعل نيست، بلكه منظور «غير متناهى لا يقفى» است. لايتناهى بالفعل يعنى اينكه ما يك موجود بالفعل غير متناهى داشته باشيم، مثل اينكه كسى بگويد ستاره‌هاى عالم بالفعل غير متناهى‌اند، ذرّات عالم بالفعل غير متناهى‌اند؛ كه اگر كسى گفت ستاره‌ها بالفعل غير متناهى است، بايد بگوييم ما الآن غير متناهى عدد ستاره در خارج داريم. اين يك مسأله است. امّا آنكه مى‌گويد عدد غير متناهى است، به اين معنا نمى‌گويد. منظور غير متناهى لا يقفى است. غير متناهى لا يقفى به ذهن ما برمى‌گردد، به خارج مربوط نيست؛ يعنى ذهن ما هر عددى را كه اعتبار كند عدد در آنجا متوقف نمى‌گردد؛ امكان اعتبار عددى ديگر كه يكى بيشتر يا دوتا بيشتر يا دو برابر آن يا هزار برابر آن باشد هست. اين را مى‌گويند «لا يتناهى لا يقفى». شيخ همين جا اشكال خود را وارد مى‌كند.(مجموعه آثار شهید مطهری، ج ٧، ص ۵۶٧-۵۶٨)
تناهى به دو معناست: يكى تناهى عددى، و ديگر تناهى لا يقفى.
نامتناهى عددى آن است كه شىء بالفعل موجود و نامتناهى باشد، مثلا خط و سطح و جسم بالفعل موجود باشد و نهايت نداشته باشد. و نامتناهى لا يقفى آن است كه بالفعل موجود نباشد، بلكه به هر مرتبه كه رسد باز در آن چيزى بتوان فرض نمود.چنانچه حكما گويند كه جسم قابل قسمت است الى غير النهاية، كه هر اندازه جسم را تقسيم كنيم باز هم قابل قسمت است و به انتهاء نمى‌رسد. و اينكه حكما گويند نامتناهى وجود ندارد مقصود نامتناهى عددى است، ولى نامتناهى لايقفى جائز و واقع است، مثل اينكه جسم به نامتناهى تقسيم مى‌شود و اين قسمتها به جايى نمى‌رسند كه ديگر تقسيم نشوند. حكماى قديم يونان مى‌گفتند ابعاد نامتناهى است.(مجموعه رسائل عرفانی و فلسفی،ص ٢۶٩)
این اصطلاح اولین بار در کلام ارسطو به کار رفته است. او در این باره می گوید:
قال الإسكندر: هل المتحرك على عظم ما يتحرك فى أول حركته على أول جزء منه، أم لا؟ و ذلك أن كل حركة إنما صارت فى زمان لأنه ليس يمكن أن يتحرك المتحرك على الشىء الموضوع ليتحرك عليه دفعة، لكنه يقطع منه شيئا بعد شىء؛ فإذا هذا هكذا، فالمتحرك يتحرك أولا على أول جزء من أجزاء العظم الذي يتحرك عليه. فإن كان الأول فى العظم يمر بلا نهاية، فكل محرك يصير متحركا على أشياء بلا نهاية؛ و كل متحرك يتحرك بعدا ما، فإنه يكون متحركا آخرا بلا نهاية أولية. و الأشياء التي بلا نهاية لا تقطع مسافتها، فنقول: إنه لا بد - إذ كانت قسمة الأشياء المتصلة بلا نهاية - من أحد أمرين: إما أن تكون الحركة لا تجوز أولا على الجزء الأول، أو تكون قد تجوز على الجزء الأول من العظم إنما هو من قبل أن فى العظم المتصل جزءا يتقدم و جزءا يتأخر. و ذلك أنه ليس الأجزاء فى المتصل بحال غير الحال التي نقول بها إن المتحرك نفسه يقطعها؛ فكيف إذا يوجد بعض الأجزاء متقدما و بعضها متأخرا فى المتصل، إما بالفعل أم بغير الفعل؟ فنقول: إنه ليس شىء من الأعظام المتصلة أجزاؤه منفصلة، و لا هى فى الكل بالفعل، لأن العظم إنما هو غير منقسم بالفعل؛ و لو كان منقسما بالفعل، لما كان عظما واحدا، و لا كانت الحركة واحدة. فإذ كانت الأجزاء التي فى الكل ليست بالفعل فيه فقد بقى أن يكون فى الكل الذي هو متصل بالقوة، و يكون المتقدم و المتأخر المتصل إنما هو بالقوة لا بالفعل، و يكون المتحرك عليه إنما يتحرك على الجزء الأول أولا على الحال التي يوجد بها الجزء فى العظم، و وجوده فيه بالقوة. فعلى هذه الجهة إذا يتحرك عليه. و إنما يفعل هذا من قبل أنه يتحرك عليه من غير أن يقسمه و من غير أن يجعل جزءا منه أولا و جزءا ثانيا بالفعل. و المتحرك إذا تحرك على هذه الجهة على العظم فإنما يكون متحركا فى الأجزاء الأوائل على حسب ما هى فى العظم بلا نهاية، و وجودها فى العظم بلا نهاية إنما هو بالقوة. و معنى قولنا: إنه غير متناهية القوة، لا تقطع مسافتها؛ بل إنما وضعنا ذلك فيما كان بالفعل.( أرسطو عند العرب، صفحه: ۲۷۸)
او در جای دیگر در مورد بی نهایت های بزرگ(در اعداد) و کوچک(در مقادیر) چنین می نویسد:
و بالواجب أيضا لزم أن يكون غير المتناهى أمّا بالزيادة فقد يظن أنه لا يمكن أن يتجاوز كل مقدار، و أما بالقسمة فقد يمكن؛ و ذلك أن <غير المتناهى و> الهيولى محاط بهماداخلا، و هى الشىء غير المتناهى و المحيط هو الصورة. و بالواجب أيضا صار فى العدد فى الذهاب إلى القلة نهاية، و فى الذهاب إلى الكثرة يزيد أبدا على كل عدة. و صار فى المقدار الأمر بالضد: أما إلى الصغر فقد يتجاوز كل مقدار، و أما إلى الكبر فلا يمكن أن يوجد مقدار غير متناه. و السبب فى ذلك أن الواحد غير منقسم - أىّ واحد كان - مثل الإنسان إنه إنسان واحد لا كثير، و العدد إنما هو آحاد كثيرة و كمية ما. فقد يجب أن نقف عند ما لا ينقسم، فإن الاثنين و الثلاثة إنما هى أسماء، و كذلك واحد من سائر الأعداد. و أما ذهابه إلى الكثرة فقد يمكن توهمه دائما. فإن قسمة المقدار بنصفين، و نصفه بنصفين يمر بلا نهاية، فيكون <العدد غير متناه> بالقوة ؛ فأما بالفعل - فلا. غير أنه قد يوجد منه ما يزيد دائما على كل عدة محددة، لكن هذا العدد ليس بمفارق لهذه القسمة، و لا بلا نهاية أمر باق، لكنه أمر يتكون دائما، و كذلك الزمان و عدد الزمان.
فأما المقادير فإن الأمر فيها بالضد، و ذلك أن المتصل قد ينقسم بلا نهاية؛ غير أنه فى العظم ليس يكون غير متناه. لأنه بأىّ مقدار كان يمكن أن يكون بالقوة، فإنه بذلك المقدار يمكن أن يكون بالفعل. فإذ ليس يوجد أصلا مقدار محسوس غير متناه، فليس يمكن أن يكون يفضل على كل مقدار محدود، لأن ذلك لو جاز لقد كان سيكون ما هو أعظم من السماء.( الطبیعة (أرسطو)، جلد: ۱، صفحه: ۲۶۳)
در کلمات سایرین:
و الجواب: أنّ لا نهاية إمكان القسمة خاصّة للأجسام كلّها. و كما لا يلزم من اشتراك الكلّ و الجزء في الجسميّة اشتراكهما في خصوص المقدار، كذلك لا يلزم من اشتراكهما في خاصّة الجسم، و هي لا نهاية إمكان القسمة، اشتراكهما في خصوص المقدار. سلّمنا أنّ الشيئين إذا اشتركا في عدم التناهي اشتركا في عدم التفاوت، و لكن لا مطلقا، بل فيما يكون أعدادهما الغير المتناهية حاصلة بالفعل. أمّا إذا كانت بالقوّة فلا، كيف و الوجود يكذّبه.
ألا ترى أنّ الألوف المتضاعفة إلى غير النهاية بالقوّة و الإمكان فيها من المئات الغير المتناهية بالقوّة عشرة أمثالها، و من العشرات مائة أمثالها، مع أنّ عدد كلّ عقد من الثلاثة غير متناه بالقوّة؛ بمعنى أنّا إلى أيّ حدّ انتهينا في العدد أمكن الزّيادة عليه؛ لكن لمّا لم تكن هذه الألوف الغير المتناهية حاصلة بالفعل، لم يلزم من الاشتراك في اللاّنهاية التساوي في الأعداد(حکمة الإشراق (تعلیقه ملا صدرا)، جلد: ۱، صفحه: ۳۲۲)
السادس أن العدد ليس بمتناه و معناه أنه لا توجد مرتبة من العدد إلا و يمكن فرض ما يزيد عليها و كذا فرض ما يزد على الزائد و لا تقف السلسلة حتى تنقطع بانقطاع الاعتبار و يسمى غير المتناهي اللايقفي و لا يوجد من السلسلة دائما بالفعل إلا مقدار متناه و ما يزيد عليه فهو في القوة و أما ذهاب السلسلة بالفعل إلى غير النهاية على نحو العدول دون السلب التحصيلي فغير معقول فلا كل و لا مجموع لغير المتناهي بهذا المعنى و لا تحقق فيه لشيء من النسب الكسرية كالنصف و الثلث و الربع و إلا عاد متناهيا .(نهایة الحکمة، ص ١١٢-١١٣)
[7] برشی از مقاله گردآوری «مثال دقیق، سؤال روان؛ ابزاری برای ارائه مجردات به همگان».
[8] نمونه‌ای از تلاش برای عینی سازی بهشت کانتور را در مقاله گردآوری «مثال دقیق، سؤال روان؛ ابزاری برای ارائه مجردات به همگان» ملاحظه می‌کنید.
[9] I would say, `I wouldn't dream of trying to drive anyone from this paradise.' I would do something quite different: I would try to show you that it is not a paradise — so that you'll leave of your own accord. I would say, `You're welcome to this; just look about you.' . . .
(For if one person can see it as a paradise . . ., why should not another see it as a joke?) (Ludwig Wittgenstein)( The Infinite)
[10] راسل می‌گوید که در اواخر نخستین نیمسال تحصیلی، ویتگنشتاین در ۱۹۱۲ او پرسید: من یک احمق تمام عیارم یا نه؟ اگر بلی هوانورد خواهم شد و اگر نه فیلسوف. راسل در پاسخ پیشنهاد کرد که او در طی تعطیلات مقاله‌ای در باب یک موضوع فلسفی بنویسد. وقتی او در آغاز نیمسال جدید مقاله را به راسل نشان داد، او یک جمله از آن را خواند و گفت: نه تو نباید هوانورد شوی!(لودویگ ویتگنشتاین، ص ۱۲)
[11] جلسه سی و دوم فقه هوش مصنوعی
بدون نظر