۶.نقطه نصف

هر خطّی، یک نقطه‌ای وسط اوست،

وقتی ما انسان‌ها هستیم وبه  این خط فکر می‌کنیم، این نقطه، وسط اوست؟ یا نه؛ اگر هیچ انسانی هم نبود، هر خطّی واقعاً یک نقطه‌ای وسط او بود.یک خطّی که ۱۰ سانت است، آن سرِ نقطه ۵ سانت، این نقطه را ذهن ما ایجاد می‌کند؟‌ فرض می‌گیرد؟ یا ذهن ما هم نبود، خط ۱۰ سانتی، نقطه ۵ سانتی‌اش معین هست؟نقطه­ی نصف،نقطه­ی ثابت هندسی است، بند به ذهن ما نیست.

نقطه طلایی، دقیق بود؛ امّا نقطه­ی نصف، پیدا کردنش ساده است. اقلیدس، همان روزهای اوّل در اصول اقلیدس، به شما یاد می‌دهد که نقطه­ی نصفِ هر خط را با رسم هندسی، پیدایش کنید نه این‌که فرضش بگیرید[1]. نقطه­ی نصف، یک ثابت هندسی است.

شما منصِّف یک خط را چه­طور رسم می‌کنید؟ می‌گویید پایه پرگار را روی سرِ این خط بگذار، به اندازه­ی شعاعِ خودِ خط، مثلاً خط ۱۰ سانتی، یک دایره رسم کن. دوباره پایه­ی پرگار را بگذار آن سر خط، ، به اندازه­ی ۱۰ سانت یک دایره بزن. وقتی آنجا دو تا دایره همدیگر را قطع کردند، از نقطه­ی تقاطعِ دایره، خطِّ مستقیم بکش و بیاور روی خط[2]؛ آن می‌شود عمودِ منصِّف[3]. من به گمانم هر کسی به این مطلب فکر کند، وجداناً هیچ تردید نمی‌کند که در یک خطِّ ۱۰ سانتی، آن نقطه‌ای که نصف دو تا خط است که این طرفش ۵ سانت است،نقطه ای ثابت است. یعنی یک نقطه‌ای است که ما درکش می‌کنیم، کشفش می‌کنیم؛ نه نقطه‌ای است که ما ایجادش کنیم، فرض بگیریم.

نقطه‌­ی نصفِ نصف...

سؤال را جلو ببریم اما به صورت خیلی واضح. حالا این نصفِ خط را در نظر بگیرید؛ نقطه­ی نصفِ این نصف، ثابت است یا ما آن را فرض می‌گیریم؟ آن هم ثابت است. بنابراین همان طور که نجّار آمد اوّل خط مساوی را با تقاطع در نصف در نظر گرفت و یک علامت درست کرد. حالا اگر بیاید نصفِ یکی را با نصفِ نصفِ دیگری ملاحظه کند، چوب را بالاتر ببرد، علامت صلیب درست کند. الآن نقطه­ی نصفِ نصف، که ثابت است، نصف آن خط هم که ثابت است؛ این نجار دارد یک شکلی را خلق می‌کند از مابین اشکال؟ دارد می‌آفریند؟ یا  از بین یک سری اشکالِ هندسیِ ثابت، انتخاب می‌کند؟

ما اگر یک نرم‌افزاری درست کنیم که نقاطِ این خط را قشنگ درجه‌بندی کند. بعداً هم طبق این درجه‌بندیِ شما، به شما شکل بدهد؛ می‌گوید یک شکلی که نقطه­ی نصفِ خطِّ افقی، با نقطه­ی نصفِ نصفِ بالایی خطِّ عمودی تقاطع کرده است، می‌شود صلیب.

حالا دوباره همان نصفِ نصف را در نظر بگیرید، دوباره نقطه­ی نصفِ او ثابت است یا شما فرض می‌گیرید؟ نقطه نصفِ نصفِ نصف؛ نقطه ثابت است. شما می‌توانید بالاتر ببرید. یعنی خطّ افقی را عمود بگیرید بر نقطه­ی نصفِ نصفِ نصف.

نقطه­‌ی نصفِ نصفِ نصفِ نصف.... شما چه زمانی  به بالای آن خط می‌رسید؟ انتهایش؟ هیچ وقت. تا بی‌نهایت می‌روید، ولی  هیچ وقت به آن حد نمی‌رسید. این نقاط، ثابت است، یا ما آنها را درست می‌کنیم؟ ثابت است. ببینید شما الآن با بی‌نهایت نقطه­ی ثابت -که ما هم نبودیم هستند- سروکار پیدا کردید؛ به راحتی، با این سؤالات. این را می‌گوییم آنالیز، آنالیزِ بی‌نهایت؛ نه بی‌نهایت‌های افزایشی. این بی‌نهایتِ کاهشی، بی‌نهایتِ آنالیزی است.

 به روشنی با این سؤالات ساده، حتی برای دبستانی ها روشن می کند که اگر ما هم نبودیم، این بی‌نهایت نقاطِ نصفِ نصف هست. هست یعنی چه؟ یعنی ثبوتی دارد نفس الامری که ذهن ما کشفش می‌کند. ذهن ما  با رسم، به آن می‌رسد؛ نه این‌که فرضش بگیرد. لازمه این چیست؟ لازمه، این است که اصلاً ما وقتی فکر می‌کنیم خلقِ یک شکل نمی‌کنیم؛بلکه از مفاهیمِ مختلف قرض می‌گیریم؛ با این مفاهیم، در بستر یک هندسه داریم انتخاب می‌کنیم.

[1] (10-1) ى: نريد أن ننصّف خطا محدودا كخط  ( أ ب ) فلنعمل عليه مثلث  ( أ ج ب )  المتساوى الأضلاع و ننصّف زاوية  ( ج )  بخطّ  ( ج د )  فينصّف الخط به و ذلك لأنّ فى مثلثى  ( أ ج د ، ب ج د )  ضلعى  ( أ ج ، ج د )  و زاوية  ( أ ج د )  متساوية لضلعى  ( ب ج ، ج د )  و زاوية  ( ب ج د )  فإذن قاعدتا  ( أ د ، د ب )  متساويتان و ذلك ما أردناه.(تحریر اصول اقلیدس،المقاله الاولی،الشکل العاشر)

[2] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Perpendicular_Bisector.gif 

[3] عمودمنصّف، خطی است که بر آن پاره خط عمود می‌شود و آن را به دو نیمهٔ مساوی تقسیم می‌کند.(ویکی پدیا)